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Konzepte und Definitionen im Modul V-4 Konfidenzintervalle für die Standardabweichung σ und die Varianz σ²
Vorbemerkung
Das unbekannte σ der Grundgesamtheit wird durch die Standardabweichung ŝ der Stichprobe geschätzt. In Abhängigkeit vom Stichprobenumfang werden die Grenzen des Intervalls bei n ≤ 30 auf Grundlage einer χ²-Verteilung und bei n > 30 auf Grundlage einer Standardnormalverteilung ermittelt.
1. Die Konfidenzschätzungen für die Standardabweichung und die Varianz der Grundgesamtheit bei n ≤ 30
a) Die Ableitung der Formel für ˜σ bei n ≤ 30
Die Ableitung der Formel für das Konfidenzintervall der Standardabweichung basiert bei n ≤ 30 auf der
modifizierten Standardabweichung der Stichprobe
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und darauf, dass diese bei einem gegebenen σ und φ = n - 1 Freiheitsgraden mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α in einen Bereich mit der unteren Grenze χ² 1 - α/2 und der oberen Grenze χ²α/2 fällt:
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Durch Auflösung der Ungleichung nach σ erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig realisiertes Stichprobenintervall den Parameter σ der Grundgesamtheit abdeckt:
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Nach dem Ziehen der Stichprobe erhält man analog zur Wahrscheinlichkeit für das Intervall die Konfidenz K, dafür dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ mit einem Konfidenzniveau 1 - α im Intervall vermutet werden kann:
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Für die Abschätzung der Varianz gilt entsprechend:
b) Die Konfidenzintervalle für σ und σ² bei n ≤ 30
Daraus resultieren der untere und der obere Grenzwert des Intervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit :
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Für den unteren und der oberen Grenzwert des Intervalls für die Varianz der Grundgesamtheit:
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2. Die Konfidenzschätzungen für die Standardabweichung und die Varianz der Grundgesamtheit bei n > 30
a) Die Ableitung der Formel für ˜σ bei n > 30
Die Ableitung der Formel für das Konfidenzintervall der Standardabweichung basiert bei n > 30 darauf, dass die modifizierte Standardabweichung der Stichprobe
über 
durch die Standard-Normalverteilung approximiert werden kann (vgl. Punkt C im Modul die modifizierte Standardabweichung der Stichprobe
).
Die Freiheitsgrade φ sind mit: φ = n - 1 gegeben.
Z fällt mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α in einen Bereich mit der unteren Grenze - Zα/2 und der oberen Grenze +Zα/2:
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Durch Einsetzen der modifizierte Standardabweichung (s. o.) und durch Auflösung der Ungleichung nach σ erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig realisierte Stichprobenintervall den Parameter der Grundgesamtheit abdeckt:
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Nach dem Ziehen der Stichprobe erhält man analog zur Wahrscheinlichkeit für das Intervall die Konfidenz K, dafür dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ mit einem Konfidenzniveau 1 - α im Intervall vermutet werden kann.
b) Das Konfidenzintervall für σ und σ² bei n > 30
Daraus resultieren der untere und der obere Grenzwert des Intervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit:
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Das Konfidenzintervall für die Varianz ergibt sich unmittelbar aus der Quadrierung der entsprechenden Grenzen für σ.
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