1. Beispiele

a) Beispiel einer Stichprobenverteilung bei n≤ 30

• Als Beispiel gehen wir von einer normalverteilten Grundgesamtheit mit dem Parameter(also) aus. Es werden daraus Stichproben vom Umfang n = 20 gezogen, d.h.:.

  In welchem Bereich werden nun 90% aller Stichprobenstandardabweichungen liegen?

• Die Wahrscheinlichkeit ist vorgegeben, es gilt also, die Intervallgrenzen für

  zu bestimmen.

  Die entsprechenden Werte können fürder tabellierten Funktion der-Verteilung entnommen werden. Die 10% Wahrscheinlichkeit außerhalb des gesuchten Intervalls ist aufzuteilen in jeweils 5% am unteren und 5% am oberen Ende der Verteilung, so dass in der Tabelle die-Werte für eine Wahrscheinlichkeit von 0,05 und 0,950 nachzuschlagen sind. So gilt:

  

  Mit folgendem Applet der Universität von Iowa lassen sich die Grenzen bei φ = 19 und einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 für den Bereich bestimmen und graphisch darstellen. Dazu geben Sie in der ersten Eingabzeile die Freiheitsgrade und in der zweiten die Werte für α mit 0.95 und 0.05 in das Fenster rechts neben dem Gleichheitszeichen ein.

• Die Grenzen des gesuchten Intervalls sind dann wie folgt bestimmt:

  Untere Grenze:

  Obere Grenze: und wir erhalten:

  

  Damit ergibt sich zwischen den Grenzwerten eine Spanne von 530.

b) Beispiel einer Stichprobenverteilung bei n > 30

Unter Bezug auf das obige Beispiel bestimmen wir nun bei einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 den mittleren Bereich für Stichproben im Umfang von n = 51.
Bei φ = n - 1 = 50 ergeben sich die Grenzwerte wie folgt:

Damit ergibt sich zwischen den Grenzwerten eine Spanne von 530. Im Vergleich zu einer Stichprobe im Umfang von n = 20 erbringt also ein etwa 2.5-faches n eine Reduktion der Spanne zwischen den Grenzen um 60%.

c) Simulationen von Stichprobenverteilungen der s, s² und ŝ²

Mit diesem Programm der Rice University lassen sich im Fenster "Begin" Stichprobenverteilungen aus unterschiedlichen, auch selbst definierten Grundgesamtheiten (1. Fenster), in selbstgewählten Schritten oder Anzahl von Stichproben (2. Fenster) für die Stichprobenverteilungen s, s² und ŝ² (3. und 4. Fenster) erzeugen und graphisch darstellen sowie die dazugehörigen statistischen Kennziffern der Verteilungen berechnen.
Ein Vergleich der Verteilungen der nicht erwartungstreuen Varianz s² mit der erwartungstreuen Varianz ŝ² zeigt deutlich, dass erstere kaum geeignet ist, auf die Varianz der Grundgesamtheit zu schliessen.

2. Aufgaben

Im Folgenden haben Sie die Möglichkeit, Aufgabenstellungen zur Stichprobenverteilung der Varianzen anhand von vorgegebenen Aufgaben und interaktiven Tools zu bearbeiten oder anhand bereitgestellter Musterlösungen nachzuvollziehen. Dazu finden Sie am Ende dieser Seite einen Link auf die Musterlösungen zu diesen Aufgaben.

Aufgabe (29)
Der Durchmesser von Wellen, die auf einer bestimmten Drehbank gefertigt werden, ist normalverteilt mit einer Varianz von 0,01 mm².

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Varianzvon 20 zufällig ausgewählten Wellen zwischen 0,005325 mm² und 0,01587 mm² liegt?

Ein interaktives Tool zur Bearbeitung dieser Aufgabe in 6 Schritten findet sich unter diesem Link.
Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in dieser pdf-Datei zu berücksichtigen.

b) In welchem Bereich liegen bei n = 25 die Standardabweichungen der Stichproben mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.90?

Ein interaktives Tool zur Bearbeitung dieser Aufgabe in 4 Schritten findet sich unter diesem Link.

c) In welchem Bereich liegen die Standardabweichungen von Stichproben im Umfang von n = 50 bei einer Wahrscheinlichkeit von 0.90?

Ein interaktives Tool zur Bearbeitung dieser Aufgabe in 3 Schritten findet sich unter diesem Link.

Zur Musterlösung der Aufgabe 29

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