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Vorbemerkungen

Unter dem Begriff der Chi-Quadrat-Tests werden zwei unterschiedliche Testkonzepte auf der Grundlage einer Chi-Quadrat-Verteilung subsummiert, deren Kern im Vergleich einer empirischen Häufigkeit mit einer theoretischen Häufigkeit besteht.

• Der -Unabhängigkeitstest prüft, ob eine gegebene zweidimensionale Häufigkeitsverteilung der Variablen X_i und Y_i aus einer Grundgesamtheit stammen kann, in der X_i und Y_i unabhängig voneinander verteilt sind. Diese Fragestellung ist aus der deskriptiven Statistik als Kontingenzanalyse bekannt.

• Der -Anpassungstest prüft, ob eine empirisch gegebene Häufigkeitsverteilung durch eine bestimmte theoretische Verteilung zu beschreiben ist. So kann z.B. überprüft werden, ob die Augenzahlen eines Würfels gleichverteilt sind oder ob ein konkretes empirisches Merkmal in der Grundgesamtheit normalverteilt ist.

In beiden Fällen lautet die Nullhypothese: = 0, d.h. dass die Unterschiede jeweils nur zufällig sind.

Sowohl der Anpassungs- wie auch der Unabhängigkeitstest sind somit rechtsseitige Tests.

1. Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

a) Ausgangspunkt: Die Kontingenzanalyse

• Der -Unabhängigkeitstest prüft, ob zwei Variablen X_i und Y_i in der Grundgesamtheit unabhängig voneinander verteilt sind.
  
  

• Die dem Test zugrunde liegende Formel entspricht dem aus der Kontingenzanalyse bekanntem Algorithmus.
  Er lautet:
  wobei f_b die beobachtete und f_e die erwartete Häufigkeit ist. Summiert wird über die Anzahl der z · s Tabellenfelder.

• Voraussetzung dafür, dass die so berechnete Größe tatsächlich einer χ²-Verteilung folgt, ist: f_e ≥ 5. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, müssen die Zeilen oder Spalten der Kontingenztabelle zusammengefasst werden.

b) Die Ermittlung der Werte

• Die beobachteten Werte sind mit den Felderwerten einer zwei- oder mehrdimensionalen Kontingenztabelle gegeben.

  Tab.: IV-3: Kontingenztabelle, Erwerbstätigkeit nach Geschlecht

  

• Die erwarteten Häufigkeiten sind der Indifferenztabelle zu entnehmen. Deren Werte müssen aus den Randverteilungen der Kontingenztabelle berechnet werden.

  Tab.: IV- 4: Indifferenztabelle, bei Unabhängigkeit erwartete Häufigkeiten

  

  Die Konstruktion der Indifferenztabelle erfolgt über den Satz 4 der Statistischen Unabhängigkeit:
  
  Für f_1,1 ergibt sich: f_1,1 = (86 · 100)/ 200 = 43.

• Die Freiheitsgrade berechnen sich über: = (z-1) · (s-1); hier: (4 - 1)(2 - 1) = 3

c) Der Test auf Unabhängigkeit

Die zu testende Hypothesen lautet: H₀: = 0, d.h. die Kontingenztabelle stellt eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit dar, in der die beiden Variablen unabhängig sind.

Diese Hypothese ist anzunehmen, wenn der empirische χ²-Wert in den Annahmebereich fällt (vgl. Abb. IV-19).

Abb.: IV- 19: Annahme- und Ablehnungsbereich bei 3 Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von 0,1

2. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest

a) Ausgangspunkt: Die empirische Häufigkeitsverteilung

Der -Anpassungstest prüft, ob eine gegebene, klassierte Häufigkeitsverteilung durch eine bestimmte theoretische Verteilung zu beschreiben ist. So kann, wie bereits erwähnt, getestet werden, ob die Augenzahlen eines Würfels gleichverteilt sind (vgl. Abb. IV-20) oder ob ein konkretes empirisches Merkmal in der Grundgesamtheit normalverteilt ist (vgl. Abb. IV-21).

Abb. IV-20: Häufigkeiten von Augenzahlen beim Würfelwurf

Abb. IV-21: Anpassung einer empirischen Verteilung an eine Normalverteilung

b) Die Ermittlung der Werte

Die dem Anpassungstest zu Grunde liegende Formel für lautet:

Summiert wird über die Anzahl der Klassen.

Voraussetzung dafür, dass die so berechnete Größe tatsächlich einer χ²-Verteilung folgt, ist die Bedingung: n · p_i ≥ 5. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, müssen die Zellen der empirischen Tabelle zusammengefasst werden.

Die χ²-Formel bezieht sich somit

• einerseits auf die empirisch beobachteten absoluten Häufigkeiten f_i = n_i einer in k Klassen klassierte Variable X_i (i = 1...k),

• andererseits auf die, entsprechend einer theoretischen Verteilung für die X_i zu erwartenden absoluten Häufigkeiten n · p_i .

  • Für eine diskrete Zufallsvariable X_i ergibt sich die Wahrscheinlichkeit p_i aus der entsprechenden Formel bzw. Tabelle (etwa bei einer Binomialverteilung). Sie ist im Würfelbeispiel bei Gleichverteilung mit p_i = 1/6 apriori gegeben.

  • Für eine klassierte stetige Variable X_i muss sie aufwändig berechnet oder aus der entsprechenden Tabelle ermittelt werden.
    
    p_i ergibt sich allgemein als:
    
    p_i = P(X ≥ X_i) - P(X > X_i + c_i).
    

    Im Falle einer Normalverteilung resultiert p_i aus der Z-Transformation:
    
    D.h. mit p_i ist die Wahrscheinlichkeit gegeben, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in einer, durch die klassierte empirische Verteilung vorgegebenen Klasse mit der Untergrenze X_i und der Breite c_i realisiert wird.
    
    Die Werte der Parameter μ und σ der Normalverteilung werden aus der empirischen Verteilung übernommen

c) Der Test auf Anpassung

Die zu testende Hypothesen lautet wieder: H₀: = 0,
d.h. die empirische Verteilung ist eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit einer mathematisch zu beschreibenden Dichteverteilung.

Diese kann, bezogen auf die Abb. IV-20 und IV-21, gleich- bzw. normalverteilt sein.

Getestet wird somit die Hypothese, dass die Abweichungen zwischen beiden Verteilungen zufällig sind.

Diese Hypothese ist bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau α₀ anzunehmen, wenn der empirische χ²-Wert in den Annahmebereich fällt.

Der entsprechende Grenz-Wert χ²_α0 kann für die gegebene Anzahl der Freiheitsgrade φ aus der χ²-Tabelle abgelesen werden.

Wenn χ² > χ²_α0 sind die Abweichungen signifikant, d.h. die empirische Verteilung folgt nicht einer theoretischen Vorlage.

Auch der Anpassungstest ist somit ein rechtsseitiger Tests. Allerdings wird jetzt eine Annahme der Hypothese angestrebt.

Die Freiheitsgrade berechnen sich jetzt über über die Anzahl der Klassen der empirischen Häufigkeitsverteilung: = k - 1.

letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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