1. Vorbemerkungen

• Die-Verteilung dient in der induktiven Statistik als Basis der Verteilung von Stichprobenvarianzen und -standardabweichungen und ist somit Grundlage der statistischen Schlüsse auf die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit.

• Darüber hinaus erlaubt die-Verteilung eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beurteilung der deskriptiven Kontingenzmaße.

• Die-Verteilung ist für n > 30 durch die Normalverteilung approximierbar.

2. Die Chi-Quadrat-Funktion und ihre Eigenschaften

a) Die Dichtefunktion

• Die-Variable ergibt sich als Summe von n quadrierten, standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Es gilt also:

  mit bei .

• Die Dichtefunktionenwird hier in ihrer Funktionsform nicht wiedergegeben¹.

b) Die Parameter und Maßzahlen der Dichtefunktion

• Der einzige Parameter der Dichtefunktion ist die Anzahl der Freiheitsgrade, d.h. die Anzahl derunabhängigen Summanden, mit. Als einziger Parameter bestimmtauch die für die Verteilung relevanten Maßzahlen:

• Der Erwartungswert der-Verteilung ist mit der Zahl der Freiheitsgrade identisch:

  

• Die Varianz derVerteilung entspricht dem 2-fachen der Anzahl der Freiheitsgrade:

  

• Charakteristisch für das Erscheinungsbild der-Verteilung ist der Modus derVerteilung (vgl. dazu z.B. die Abb. II-11 und 12). Er ist gegeben für:

  für.

c) Die graphische Darstellung der Dichtefunktion

• Die Graphen der Dichtefunktionensind fürunimodal und werden mit steigenden Freiheitsgraden zunehmend symmetrisch.

• Abbildung II-11: χ ²-Verteilung für φ = 1, 3 u. 15

  
  

  

  • Ein Rechner zur Bestimmung beliebiger Wahrscheinlichkeiten und zur Erzeugung der obigen Graphiken findet sich unter diesem externen Link .

  • Eine grafische Darstellung der chi-Quadrat-Verteilung liefert auch der Verteilung-Plotter von N. Johnston .

  • Weiter Alternativen finden Sie hier und hier .

  d) Die tabellierte Verteilungsfunktion

  • Wie für die Normalverteilung liegen die Wahrscheinlichkeiten der-Verteilung für Werte der Verteilungsfunktion vonin tabellierter Form vor. Diese werden auszugsweise für = 1...15 in Tab. II-5 widergegeben. Dabei sind die Freiheitsgrade in der Vorspalte der Tabelle zu finden, die kritischen Werte fürim inneren der Tabelle und die korrespondierenden Wahrscheinlichkeiten in den Spaltenüberschriften.

  • Tabelle II-5: Tabellierte -Werte fürund

    
    
    
    

  • Eine ausführliche Tabelle für φ ≤ 40 findet sich hier.

  • Ein Rechner zur Berechnungg von Wahrscheinlichkeiten für beliebige Freiheitsgrade findet sich ausserdem unter diesem externen Link.

    
    

  d) Die Approximation durch die Normalverteilung

  Abkann die-Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Wie die Abbildung II-12 zeigt, lässt die Symmetrie allerdings noch zu wünschen übrig.

  Abbildung II-12:-Verteilung für

  
  

  • Aus diesem Grunde ist eine indirekte Approximation an die Normalverteilung über vorzuziehen ist.

  • ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
    und einer Varianz von Eins.

  • Daraus resultiert folgende Standard-Normalvariable:
    

    1Zur Funktion und zu weiteren Einzelheiten vgl. Litz 2003 S.284 ff

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