 |
Beispiele und Aufgaben im Modul IV-4 Test der Standardabweichung und der Varianz
1. Beispiele
1.1 Beispiel für n ≤ 30
Beispiel 1:
In diesem Beispiel kommen wir auf die Frage zurück, ob die Geschäftsleitung einer Drogeriemarktkette in einem Stadtteil eine Filiale eröffnen soll. Die Neugründung sollte nun nicht nur davon abhängen, dass das für Konsumausgaben verfügbare Durchschnittseinkommen im Stadtteil 1500 EUR beträgt, sondern auch noch davon, dass die Einkommensstreuung nicht zu hoch ist.
Getestet wird darauf hin mit einem Signifikanzniveau von 5 % die Hypothese, dass die Streuung des Durchschnittseinkommens 200 EUR nicht übersteigt.
Der Jung-Betriebswirt der zuständigen Abteilung führt dazu eine weitere Umfrage unter n = 16 Personen durch. Es ergibt sich dabei eine Standardabweichung ŝ von 250 EUR.
a) Prüfung der Voraussetzungen:
Beim Test wird vorausgesetzt, dass die Einkommen normalverteilt sind.
-
Die modifizierte Varianz der Stichprobe
 ist bei n ≤ 30 χ²-verteilt mit φ = n - 1 Freiheitsgraden.
b) Formulierung der Hypothese als Bereichshypothese
- Die Hypothese H0 lautet im rechtsseitigen Test H0: σ² ≤ 200² EUR.
c) Bestimmung des Wertes der modifizierten Varianz der Stichprobe:
d) Bestimmung des χ²α0-Wertes:
Im rechtsseitigen Test ergibt sich als Grenzwert für einen Test auf der Ebene von χ² bei einem Signifikanzniveau von 0,05 und 15 Freiheitsgraden aus der Tabelle 2 der
Tabellenübersicht
ein χ²-Wert von: χ²α0 = 24,996 .
e) Grenze des Annahmebereiches auf der Ebene der χ²-Werte:
Die Grenze des Annahme- und des Ablehnungsbereichs ergibt sich graphisch in Abb. IV-18:
Abb. IV-18 Rechtsseitiger Hypothesentest
 Ein Rechner zur Erzeugung dieser Graphik findet sich unter diesem externen Link. Mit diesem Tool können Sie die linken und rechten Grenzen des Annahmebereichs für beliebige Chi-Quadratverteilungen mit selbst gewähltem Signifikanzniveau berechnen und graphisch darstellen lassen.
f) Bestimmung der Grenze des Annahmebereiches auf der Ebene der Werte der Standardabweichungen:
g) Testergebnis:
-
Das Testergebnis kann auf zwei Ebenen abgeleitet werden:
Auf der Ebene der χ²-Werte ist der Wert der modifizierten Varianz nach c) mit dem χ²α0-Wert aus d) zu vergleichen. Wie Abb. IV-18 unter e) zeigt, liegt der empirische Wert mit 23,44 unter dem Grenzwert von 24,99 und damit im Annahmebereich der Hypothese.
Entsprechend liegt die Streuung der Stichprobe mit ŝ = 250 EUR unter dem Grenzwert ŝo = 258,18 nach f) und damit ebenfalls im Annahmebereich der Hypothese.
Danach könnte die Kette die Filiale errichten.
h) Test der Gegenhypothese:
-
Alternativ könnte noch die Gegenhypothese H0: σ² ≥ 200² EUR getestet werden. Erst wenn diese abgelehnt werden kann, darf die Kette sicher sein, dass σ nicht doch größer als 200 EUR ist.
Im linksseitigen Test ergibt sich als Grenzwert für einen Test auf der Ebene von χ² bei einem Signifikanzniveau von 0,05 und 15 Freiheitsgraden aus der
Tabelle 2 der Tabellenübersicht
ein χ²-Wert von: χ²0,95 = 7,261 .
Ein Rechner zur Erzeugung der entsprechenden Graphik mit einer rechten Randwahrscheinlichkeit von 1-α = 0.95 findet sich wieder unter diesem externen Link.
Auf der Eben der χ²-Werte ist der Wert der modifizierten Varianz nach c) mit dem χ²α0-Wert aus h) zu vergleichen. Dabei liegt der empirische Wert mit 23,44 über dem Grenzwert von 7,261 und damit im Annahmebereich auch der Gegen-Hypothese. Da diese Hypothese also ebenfalls nicht zurückgewiesen werden kann, resultieren aus den Tests widersprüchliche Ergebnisse. Danach sollte die Kette die Filiale besser nicht errichten.
Dem Chef-Statistiker der Marketingabteilung sind die Ergebnisse nicht nur zu widersprüchlich sondern angesichts der geringen Stichprobengröße auch zu unsicher. Er veranlasst deshalb den Jung-Betriebswirt, eine größere Stichprobe zu erheben und daran die obigen Hypothesen zu überprüfen. Diese Variante soll anhand des Beispiels 2 demonstriert werden.
1.2 Beispiel für n > 30
Beispiel 2:
Es wird nun eine Stichprobe mit n = 550 gezogen. Dabei ergibt sich eine Standardabweichung ŝ = 220 EUR. Wir führen einen Test mit einem Signifikanzniveau von 5% durch und prüfen dabei, ob die Standardabweichung der Stichprobe im Annahme- oder Ablehnungsbereich der Hypothese H0: σ ≤ 200 EUR liegt.
a) Prüfung der Voraussetzungen:
Beim Test wird wieder vorausgesetzt, dass die Einkommen normalverteilt sind.
-
Die modifizierte Varianz der Stichprobe
ist jetzt χ²-verteilt mit φ = n - 1 = 549 Freiheitsgraden.
b) Test der Hypothese auf der Basis der modifizierten Varianz und der χ²-Verteilung -
Da die Tabellen für die χ²-Verteilung für n > 30 i.A. nicht vorliegen, wird diese Testvariante hier nur zu Demonstrationszwecken präsentiert.
- Formulierung der Hypothese als Bereichshypothese:
Die Hypothese H0 lautet im rechtsseitigen Test H0: σ² ≤ 200² EUR.
-
Bestimmung des Wertes der modifizierten Varianz der Stichprobe:
- Bestimmung des χ²α0-Wertes:
Im rechtsseitigen Test ergibt sich als Grenzwert für einen Test auf der Ebene von χ² bei einem Signifikanzniveau von 0,05 und 549 Freiheitsgraden aus dem obigen externen Tool
ein Wert von: χ²α0 = 234 .
- Testergebnis:
Auf der Ebene der χ²-Werte ist der Wert der modifizierten Varianz mit dem χ²α0-Wert zu vergleichen. Dabei liegt der empirische Wert mit 664,3 über dem rechten Grenzwert von 234 und damit im Ablehnungsbereich der Hypothese (vgl. dazu die Graphik aus diesem Tool).
c) Test der Hypothese auf der Basis der Standardnormalverteilung
Bei n > 30 ist eine Approximation der χ²-Verteilung durch die Standardnormalverteilung möglich.
- Approximationsformel:
Für n > 30 ist  standardnormalverteilt.
Dabei kann der Test, wie am Mittelwert-Test gezeigt, sowohl auf der Ebene der Z-Werte wie auf der Ebene der ŝ - Werte durchgeführt werden
c-1) Test der Hypothese auf der Basis der Z-Werte
- Formulierung der Hypothese H0 als Bereichshypothese:
Die Hypothese lautet im rechtsseitigen Test H0: Z ≤ Zα0.
- Bestimmung des Z-Wertes aus dem χ² der Stichprobe:
(zur Ermittlung von χ² vgl. 1.2 b)
- Bestimmung des Zα0-Wertes:
Im rechtsseitigen Test ergibt sich als Grenzwert für einen Test bei einem Signifikanzniveau von 0,05 aus der Tabellenübersicht
ein Z-Wert von: Zα0 = 1,65 .
- Testergebnis:
Auf der Ebene der Z-Werte ist der Z-Wert aus der Stichprobe mit dem Zα0-Wert aus der Tabelle zu vergleichen. Danach liegt der empirische Wert mit 3,33 über dem Grenzwert von 1,65 und damit schon wie unter b) im Ablehnungsbereich der Hypothese.
c-2) Test der Hypothese auf der Basis der ŝ-Werte
- Formulierung der Hypothese H0 als Bereichshypothese:
Die lautet nun im rechtsseitigen Test H0: σ ≤ 200 EUR.
Ermittlung des Ablehnungsbereichs
Die Grenze des Ablehnungsbereiches ist gegeben mit:
 EUR.
- Testergebnis:
Entsprechend den bisherigen Ergebnissen unter b) und c-1) liegt auch hier die Streuung der Stichprobe mit ŝ = 220 EUR über dem Grenzwert ŝo = 209,87 und damit ebenfalls im Ablehnungsbereich der Hypothese.
Nach den, in 3 äquivalenten Varianten durchgerechneten Tests sollte die Kette die Filiale nicht errichten. Da diese Ergebnisse bereits über dem oberen Grenzwert liegen, erübrigt sich eine Prüfung der Gegenhypothese H0: σ² ≥ 200² EUR. Diese wäre auf jeden Fall dann anzunehmen.
2. Aufgaben
Hinweis: Bestimmen Sie je nach Aufgabenstellung den unteren und/oder oberen Grenzwert des Annahmebereichs der jeweiligen Hypothese. Setzen Sie dazu die passenden Werte in die Felder der Formeln ein. Nicht benötigte Felder lassen Sie unverändert.
|
EUR.