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XII Erweiterungen des einfachen linearen Modells
- Einleitung und Modulübersicht -
1. Das Konzept des Allgemeinen linearen Modells (ALM)
a) Die Grenzen des einfachen linearen Regressions- und Korrelationsmodells
Im Folgenden werden Modelle vorgestellt, die die einfache lineare Struktur der funktionalen Beziehung zwischen einer abhängigen Variable X1 und einer unabhängigen Variablen X2 in mehrfacher Hinsicht erweitern. Dabei werden die Beschränkungen des Modells in folgenden Punkten aufgehoben:
die Beschränkung auf metrische Variablen, indem dichotome und schließlich auch beliebige, nominale und ordinale Variablen als unabhängige Variablen in das Modell integriert werden,
die Beschränkung der Linearität der Beziehungen, indem z. B. quadratische, kubische oder logistische Terme zur Erklärung der abhängigen Variablen herangezogen werden und
die Beschränkung der bivariaten Analyse, indem weitere Variablen, die den einfachen bivariaten Zusammen beeinträchtigen, entweder kontrolliert oder explizit in das Modell aufgenommen werden.
b) Die Module des allgemeinen linearen Modells
Die Regression und Korrelation mit einem dichotomen Regressor
In diesem Modell wird die abhängige Variable X1 durch eine binäre, sog. Dummy-Variable erklärt, die nur zwei Ausprägungen D = (0 , 1) aufweist.
Die Funktionsform x1c = f(D) lautet:
x1c = a* + b* · D
Die Regression und Korrelation mit standardisierten Variablen
In dieser Variante des einfachen linearen Regressions- und Korrelationsmodells werden die Ausgangsvariablen in ihrer standardisierten Form Z1 und Z2 aufeinander bezogen.
Die Funktionsform z1c = f(z2) lautet:
z1c = az + bz · z2
Mit der Standardisierung der Variablen können die Regressionsergebnisse unabhängig von den Skalierungsmaßstäben der Variablen analysiert werden. Darüber hinaus wird das Modell vereinfacht und damit auch der Einbezug weiterer Variablen.
Das nichtlineare Regressions- und Korrelationsmodell
Dieses Modell erlaubt die Analyse nichtlinearer Regressionsfunktionen durch Linearisierung der Variablen oder der Regressionsbeziehung mit den bekannten linearen Ansätzen.
Beispiele für betrachtete Funktionsformen und Linearisierungen sind:
y = f ( v 2 ) linearisiert über x2 = v 2 zu yc = a + b · x2
y = f ( v -1 ) linearisiert über x2 = 1/v zu yc = a + b · x2 oder
y = f ( e a + b · x2 ) linearisiert über x1 = ln (y) zu x1c = a + b · x2
Mit dem Programm "Kurvenanpassung" von SPSS werden mehr als zehn unterschiedliche Funktionsformen für eine Analyse bereitgestellt und anhand praktischer Beispiele rechnerisch und grafisch präsentiert.
Partielle Regressions- und Korrelationsmodelle
Mit der partiellen Regression und Korrelation beziehen wir weitere unabhängige Variablen X3.......Xk in die Analyse mit ein.
Zwar betrachten wir mit diesen Modellen weiter den Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variable X1 und einer unabhängigen Variablen X2, doch soll dabei der Einfluss der übrigen Variablen X3.......Xk ausgeschaltet bzw. kontrolliert werden.
In der einfachen Partialanalyse wird nur die Variable X3 kontrolliert, d.h. konstant gehalten. Die Funktion x1-3 = f(x2-3) signalisiert, dass der Einfluss von x3 sowohl aus x1 wie aus x2 ausgeschaltet wird.
In der mehrfachen Partialanalyse wird der Einfluss weiterer Variable X4.......Xk eliminiert. Dies führt zu Analyse von Funktionen mit Partialvariablen höherer Ordnung:
x1-3,4... = f(x2-3,4...)
Rechnerisch ergibt sich die partielle Regressions- und Korrelationsanalyse auf der Basis der bekannten Formeln als einfache Regressions- und Korrelationsanalyse von Partialvariablen.
Die einfache (einfaktorielle) Varianzanalyse
In diesem Modell wird die abhängige metrische Variable X1 durch eine nominale oder ordinale Variable Aj erklärt. Ordinale oder nominale Variablen, hier Faktoren genannt, können z. B. sein: das Ausbildungsniveau, der Familienstand oder der betrieblich Status.
Die Funktion lautet: x1 = f(Aj), mit j = 1...s
Die multiple Regressions- und Korrelationsanalyse
In der multiplen Regression und Korrelation werden die weiteren unabhängige Variablen X3.......Xk unmittelbar in den funktionalen Zusammenhang einbezogen.
Die Funktion X1 = f (X2, X3.......Xk lautet nun:
x1c = a* + b2* · x2 + b3* · x3 + .... bk* · xk
Die mehrfache (multiple) Varianzanalyse
In dem Modell der multiplen Varianzanalyse wird die abhängige metrische Variable X1 durch mehrere nominale oder ordinale Variablen Aj, Bl, Cm erklärt.
Die Funktion lautet:
x1 = f(Aj, Bl, Cm...), mit j = 1...s, l = 1...z, m = 1...t.
Die Kovarianzanalyse
Das Modell der Kovarianzanalyse vereinigt die regressions- und varianzanalytischen Ansätze.
Damit wird die abhängige metrische Variable X1 durch mehrere nominale oder ordinale Variablen Aj, Bl, Cm und zusätzlich durch eine Reihe metrischer Variablen X2.......Xk erklärt.
Um die nicht-metrische Variablen in ein Regressions- /Korrelationsmodell integrieren zu können, müssen sie in (0,1)-Variable umgewandelt werden. Dabei ergeben sich aus einer nicht-metrischen Variablen Aj, (j = 1...s) s-1 Dummy-Variablen.
Die Funktion lautet dann:
x1c = a* + b2* · x2 + b3* · x3 + .... bk* · xk + d2* · D2 + d3* · D3 + .... dw* · Dw
b) Die Relevanz statistischer Programme für die Modell-Analyse
Angesichts der gewachsenen Komplexität der Modelle und der zunehmenden Anzahl der einbezogenen Variablen liegt es auf der Hand, dass die Berechnung und graphische Veranschaulichung der Modelle nur noch mit statistischen Analyseprogrammen durchgeführt werden kann.
Aus diesem Grund tritt in den Arbeitsschritten "Beispiele und Aufgaben" in den jeweiligen Modulen der Einsatz von SPSS in den Vordergrund. Dabei werden für die Beispielsrechnungen die Eingabefenster wie die tabellarischen und graphischen Ergebnisse in Screenshots präsentiert, ausführlich interpretiert und so für die Bearbeitung der Aufgaben mit SPSS auf nachvollziehbare Weise aufbereitet.
Damit stehen allerdings dann auch die von SPSS angebotenen Modellvarianten im Zentrum der Präsentationen.
2. Die Modulwahl
Wählen Sie ein Modul: - Regression und Korrelation mit dichotomen Regressoren
- Regression und Korrelation mit standardisierten Variablen
- Das nichtlineare Regressions- und Korrelationsmodell
- Partielle Regressions- und Korrelationsmodelle
- Die einfaktorielle Varianzanalyse
- Multiple Regressions- und Korrelationsmodelle
- Die mehrfaktorielle Varianz- und Kovarianzanalyse
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