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- Einleitung und Modulübersicht -

1. Das Konzept des Allgemeinen linearen Modells (ALM)

a) Die Grenzen des einfachen linearen Regressions- und Korrelationsmodells

Im Folgenden werden Modelle vorgestellt, die die einfache lineare Struktur der funktionalen Beziehung zwischen einer abhängigen Variable X₁ und einer unabhängigen Variablen X₂ in mehrfacher Hinsicht erweitern. Dabei werden die Beschränkungen des Modells in folgenden Punkten aufgehoben:

• die Beschränkung auf metrische Variablen, indem dichotome und schließlich auch beliebige, nominale und ordinale Variablen als unabhängige Variablen in das Modell integriert werden,

• die Beschränkung der Linearität der Beziehungen, indem z. B. quadratische, kubische oder logistische Terme zur Erklärung der abhängigen Variablen herangezogen werden und

• die Beschränkung der bivariaten Analyse, indem weitere Variablen, die den einfachen bivariaten Zusammen beeinträchtigen, entweder kontrolliert oder explizit in das Modell aufgenommen werden.

b) Die Module des allgemeinen linearen Modells

• Die Regression und Korrelation mit einem dichotomen Regressor

  • In diesem Modell wird die abhängige Variable X₁ durch eine binäre, sog. Dummy-Variable erklärt, die nur zwei Ausprägungen D = (0 , 1) aufweist.

  • Die Funktionsform x₁^c = f(D) lautet:
    
    x₁^c = a^* + b^* · D

• Die Regression und Korrelation mit standardisierten Variablen

  • In dieser Variante des einfachen linearen Regressions- und Korrelationsmodells werden die Ausgangsvariablen in ihrer standardisierten Form Z₁ und Z₂ aufeinander bezogen.

  • Die Funktionsform z₁^c = f(z₂) lautet:
    
    z₁^c = a_z + b_z · z₂

  • Mit der Standardisierung der Variablen können die Regressionsergebnisse unabhängig von den Skalierungsmaßstäben der Variablen analysiert werden. Darüber hinaus wird das Modell vereinfacht und damit auch der Einbezug weiterer Variablen.

• Das nichtlineare Regressions- und Korrelationsmodell

  • Dieses Modell erlaubt die Analyse nichtlinearer Regressionsfunktionen durch Linearisierung der Variablen oder der Regressionsbeziehung mit den bekannten linearen Ansätzen.

  • Beispiele für betrachtete Funktionsformen und Linearisierungen sind:

    • y = f ( v ² ) linearisiert über x₂ = v ² zu y^c = a + b · x₂

    • y = f ( v ^-1 ) linearisiert über x₂ = 1/v zu y^c = a + b · x₂ oder

    • y = f ( e ^{a + b · x₂} ) linearisiert über x₁ = ln (y) zu x₁^c = a + b · x₂

  • Mit dem Programm "Kurvenanpassung" von SPSS werden mehr als zehn unterschiedliche Funktionsformen für eine Analyse bereitgestellt und anhand praktischer Beispiele rechnerisch und grafisch präsentiert.

• Partielle Regressions- und Korrelationsmodelle

  • Mit der partiellen Regression und Korrelation beziehen wir weitere unabhängige Variablen X₃.......X_k in die Analyse mit ein.

  • Zwar betrachten wir mit diesen Modellen weiter den Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variable X₁ und einer unabhängigen Variablen X₂, doch soll dabei der Einfluss der übrigen Variablen X₃.......X_k ausgeschaltet bzw. kontrolliert werden.

  • In der einfachen Partialanalyse wird nur die Variable X₃ kontrolliert, d.h. konstant gehalten. Die Funktion x_1-3 = f(x_2-3) signalisiert, dass der Einfluss von x₃ sowohl aus x₁ wie aus x₂ ausgeschaltet wird.

  • In der mehrfachen Partialanalyse wird der Einfluss weiterer Variable X₄.......X_k eliminiert. Dies führt zu Analyse von Funktionen mit Partialvariablen höherer Ordnung:
    
    x_1-3,4... = f(x_2-3,4...)

  • Rechnerisch ergibt sich die partielle Regressions- und Korrelationsanalyse auf der Basis der bekannten Formeln als einfache Regressions- und Korrelationsanalyse von Partialvariablen.

• Die einfache (einfaktorielle) Varianzanalyse

  • In diesem Modell wird die abhängige metrische Variable X₁ durch eine nominale oder ordinale Variable A_j erklärt. Ordinale oder nominale Variablen, hier Faktoren genannt, können z. B. sein: das Ausbildungsniveau, der Familienstand oder der betrieblich Status.

  • Die Funktion lautet: x₁ = f(A_j), mit j = 1...s

• Die multiple Regressions- und Korrelationsanalyse

  • In der multiplen Regression und Korrelation werden die weiteren unabhängige Variablen X₃.......X_k unmittelbar in den funktionalen Zusammenhang einbezogen.

  • Die Funktion X₁ = f (X₂, X₃.......X_k lautet nun:
    
    x₁^c = a^* + b₂^* · x₂ + b₃^* · x₃ + .... b_k^* · x_k

• Die mehrfache (multiple) Varianzanalyse

  • In dem Modell der multiplen Varianzanalyse wird die abhängige metrische Variable X₁ durch mehrere nominale oder ordinale Variablen A_j, B_l, C_m erklärt.

  • Die Funktion lautet:
    
    x₁ = f(A_j, B_l, C_m...), mit j = 1...s, l = 1...z, m = 1...t.

• Die Kovarianzanalyse

  • Das Modell der Kovarianzanalyse vereinigt die regressions- und varianzanalytischen Ansätze.

  • Damit wird die abhängige metrische Variable X₁ durch mehrere nominale oder ordinale Variablen A_j, B_l, C_m und zusätzlich durch eine Reihe metrischer Variablen X₂.......X_k erklärt.

  • Um die nicht-metrische Variablen in ein Regressions- /Korrelationsmodell integrieren zu können, müssen sie in (0,1)-Variable umgewandelt werden. Dabei ergeben sich aus einer nicht-metrischen Variablen A_j, (j = 1...s) s-1 Dummy-Variablen.

  • Die Funktion lautet dann:
    
    x₁^c = a^* + b₂^* · x₂ + b₃^* · x₃ + .... b_k^* · x_k + d₂^* · D₂ + d₃^* · D₃ + .... d_w^* · D_w

b) Die Relevanz statistischer Programme für die Modell-Analyse

• Angesichts der gewachsenen Komplexität der Modelle und der zunehmenden Anzahl der einbezogenen Variablen liegt es auf der Hand, dass die Berechnung und graphische Veranschaulichung der Modelle nur noch mit statistischen Analyseprogrammen durchgeführt werden kann.

• Aus diesem Grund tritt in den Arbeitsschritten "Beispiele und Aufgaben" in den jeweiligen Modulen der Einsatz von SPSS in den Vordergrund. Dabei werden für die Beispielsrechnungen die Eingabefenster wie die tabellarischen und graphischen Ergebnisse in Screenshots präsentiert, ausführlich interpretiert und so für die Bearbeitung der Aufgaben mit SPSS auf nachvollziehbare Weise aufbereitet.

• Damit stehen allerdings dann auch die von SPSS angebotenen Modellvarianten im Zentrum der Präsentationen.

2. Die Modulwahl

Wählen Sie ein Modul:

1. Regression und Korrelation mit dichotomen Regressoren


2. Regression und Korrelation mit standardisierten Variablen


3. Das nichtlineare Regressions- und Korrelationsmodell


4. Partielle Regressions- und Korrelationsmodelle


5. Die einfaktorielle Varianzanalyse


6. Multiple Regressions- und Korrelationsmodelle


7. Die mehrfaktorielle Varianz- und Kovarianzanalyse

letzte Änderung am 28.2.2020 um 7:49 Uhr.

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