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Vorbemerkungen

• Wir behandeln in diesem Modul in Teil A die Konfidenzschätzungen in der einfachen linearen Regressions- und Korrelationsanalyse, wie in Teil B die Konfidenzschätzungen in der multiplen Analyse.

• Dabei werden in Teil A sowohl rechnerische wie grafische Schätzmodelle vorgestellt. Erstere führen zu Konfidenzintervallen für die Parameter der lineare Regressionsfunktion, letztere zu einem Konfidenzgürtel für die Regressionsfunktion der Grundgesamtheit.

• Zur Vereinfachung des Schätzmodelle unterstellen wir hinreichend große Stichproben, so dass wir normalverteilte Stichprobenverteilungen annehmen können (vgl. dazu Kap. IV, Modul 6).

1. Konfidenzintervalle für die Regressionsfunktion

a) Der Konfidenzbereich für Ã

• Die Schätzung der Regressionskonstanten A kann verstanden werden als Ermittlung der beiden extremsten Hypothesen, die bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau noch mit dem Stichprobenwert von a kompatibel sind: Ã = [ A₁ , A₂ ]:

  Abb. V-5: Das Konfidenzintervall Ã

  
  

• Die Konfidenz K, dass A zwischen A₁ , A₂ liegt, beträgt 1 - α.

• Daraus ergibt sich die Formel für das Konfidenzintervall à wie folgt:
  

• mit ŝ_a :
  

b) Der Konfidenzbereich für

• Die Schätzung des Regressionskoeffizienten kann wieder verstanden werden als Ermittlung der beiden extremsten Hypothesen, die bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau noch mit dem Stichprobenwert von b kompatibel sind: = [ B₁ , B₂ ]:

  Abb. V-6: Das Konfidenzintervall

  
  

• Die Konfidenz K, dass B zwischen B₁ , B₂ liegt, beträgt 1 - α.

• Daraus ergibt sich die Formel für das Konfidenzintervall wie folgt:
  

• mit ŝ_b :
  

c) Der Konfidenzbereich für die Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

• Im Folgenden wird eine simultane Schätzung beider Regressionsparameter vorgestellt. Dies führ zu einem sog. Konfidenzgürtel für die Regressionsfunktion der Grundgesamtheit:

  Abb. V-6: Der Konfidenzgürtel für X^c₁ = A + B X₂

  
  

• Die Konfidenz K, dass μ_1|2 zwischen der oberen und der unteren Grenze liegt, beträgt 1 - α.

• Die Formel für den Konfidenzgürtel lautet:
  

2. Der Konfidenzbereich für die Werte der abhängigen Variable X₁

• Aus der Regressionsfunktion der Stichprobe lässt sich auch eine Schätzung für die bedingte Verteilung der X₁ = X_1|2 ableiten. Dies führ zu einem sog. Konfidenzgürtel für die Beobachtungen der X₁ in der Grundgesamtheit:

  Abb. V-7: Der Konfidenzgürtel für X_1|2

  
  

• Die Konfidenz K, dass X_1|2 zwischen der oberen und der unteren Grenze liegt, beträgt 1 - α.

• Die Formel für den Konfidenzgürtel lautet:
  

3. Der Konfidenzbereich für den Korrelationskoeffizienten der Grundgesamtheit

• Konfidenzschätzungen für den Korrelationskoeffizienten sind eher unüblich. Fisher's Z-Transformation (vgl. Kap. IV, Modul 6) erfordert ein aufwendiges Verfahren der Berechnung des Konfidenzintervalls, das in der Regel auch bei Regressions- und Korrelationsanalysen mit Programmen nicht durchgeführt wird (so z.B. nicht von SPSS).

• Wenn eine Schätzung erwünscht ist, muss der Konfidenzbereich per hand berechnet werden. Dazu erfolgt hier die Angabe einer etwas vereinfachten Berechnungsformel nur in aller Kürze <(zur Ableitung vgl. Litz, Multivariate statistische Methoden, München 2000, S. 71f, bzw. Hartung/Elpelt, 1995 S. 154f).

• Das Konfidenzintervall für Fisher's Z_ρ ist:
  ,
  mit:
  

• Daraus folgt:
  ,
  mit:
  

• Daraus resultiert das Konfidenzintervall für ρ:
  .

Aufgrund der Dimensionalität der multiplen Modelle lassen sich nur rechnerische Ansätze für die Konfidenzintervalle der Parameter der multiplen Regressionsfunktion formulieren.

1. Die Logik des Schätzmodells

• Die Schätzung eines beliebigen multiplen Regressionsparameters " O_j " kann, wie in Teil A (Abb. V-6), verstanden werden als Ermittlung eines Bereichs zwischen den beiden extremsten Hypothesen, die bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau noch mit dem Stichprobenwert von "o" kompatibel sind:
  
  Õ*_j = [ O_j1 , O_j2 ]

• Die Konfidenz K, dass O*_j zwischen O_j1 , O_j2 liegt, ergibt sich bei einem Konfidenzniveau von 1 - α wie folgt:
  
  K( O_j1 ≤ Õ*_j ≤ O_j2 ) = 1- α.

2. Das Konfidenzintervall für die Regressionsparameter

• Daraus ergibt sich, analog zur Formel für das Konfidenzintervall des einfachen Regressionskoeffizienten (bei n ≥ 30 auf der Basis einer Normalverteilung, vgl. Teil A, 1. b):
  
  
  mit ŝ_b :
  
  ,
  
  auf der Grundlage einer t-Verteilung mit n - k Freuheitsgraden das Konfidenzintervall für den multiplen Regressionskoeffizienten wie folgt:
  
  
  
  mit dem Standardfehler des partiellen Regressionskoeffizienten b*_j :
  

letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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