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Beispiele und Aufgaben im Modul V-4 Konfidenzintervalle für die Standardabweichung σ und die Varianz σ²
1. Beispiele zur Schätzung der Standardabweichung
a) Beispiel zur Schätzung der Standardabweichung bei n ≤ 30
Die Marketingabteilung einer Supermarktkette möchte für die Dimensionierung des Marktes wissen, wie viel Geld die Haushalte eines Stadtteils durchschnittlich für Lebensmittel ausgeben und wie diese Ausgaben streuen.
Eine Stichprobe vom Umfang n = 25 erbrachte ein X̄ = 250 EUR und ein ŝ = 50 EUR. Innerhalb welcher Grenzen ist mit einem Konfidenzniveau von 95% der Parameter σ der Grundgesamtheit zu finden?
Die Vorgaben
Mit Hilfe einer Konfidenzschätzung soll für bei n = 25 ermittelt werden, in welchem symmetrischen Bereich um die Standardabweichung der Stichproben ŝ = 50 EUR der Parameter σ der Grundgesamtheit zu vermuten ist.
Prüfung der Voraussetzungen
Da n ≤ 30, können wir uns bei der Schätzung von σ auf die χ²-Verteilung von ŝ
stützen. -
Die χ²-Verteilung wird bestimmt durch die Anzahl der Freiheitsgrade φ = n - 1 = 24.
Die Ermittlung der χ²-Werte
Zur Durchführung der Schätzung benötigen wir den unteren und oberen χ²-Wert, die sich für das gewählte Konfidenzniveau 1 - α = 0,95 und φ = 24 ergeben. Aus der Tabelle
erhalten wir:
für den unteren Wert:
χ²u = χ²(1 - α/2) = χ²0,975 = 12,401.
für den oberen Wert
χ²o = χ²α/2 = χ²0,025 = 39,364.
Durchführung der Schätzung
Aus der Formel für das Konfidenzintervall von σ erhalten wir folgenden oberen und unteren Grenz-Wert:
Darstellung des Konfidenzintervalls
Das Konfidenzintervall beträgt:
Das Ergebnis der Schätzung
Die Standardabweichung σ der Ausgaben für Lebensmittel in der Grundgesamtheit liegt mit einem Vertrauen von 95% zwischen 39,04 und 69,56 EUR.
b) Beispiel zur Schätzung der Standardabweichung bei n > 30
Die Marketingabteilung einer Supermarktkette möchte für die Dimensionierung des Marktes genauer wissen, wie die Ausgaben die Haushalte streuen. Bei einer Stichprobe von n = 100 ergeben sich mit X̄ = 250 EUR und ein ŝ = 50 EUR die gleichen Ergebnisse. Welcher Konfidenzbereich gilt jetzt für σ?
Die Vorgaben
Mit Hilfe einer Konfidenzschätzung soll nun für die größere Stichproben ermittelt werden, in welchem symmetrischen Bereich um die Standardabweichung der Stichproben ŝ = 50 EUR der Parameter σ der Grundgesamtheit zu vermuten ist.
Prüfung der Voraussetzungen
Da n > 30, können wir uns bei der Schätzung auf die Normalverteilung von √(2χ²) stützen.
-
Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt nun φ = n - 1 = 99.
Die Ermittlung des Zα/2-Werts
Zur Durchführung der Schätzung benötigen wir den Z-Wert (Zα/2), der sich für das gewählte Konfidenzniveau 1 - α = 0,95 ergibt. Aus der Tabelle 1 der Tabellenübersicht
erhalten wir: Zα/2 = Z0,025 = 1,96.
Durchführung der Schätzung
Aus der Formel für das Konfidenzintervall für σ erhalten wir folgenden oberen und unteren Grenz-Wert:
Darstellung des Konfidenzintervalls
Das Konfidenzintervall beträgt:
Das Ergebnis der Schätzung
Die Standardabweichung σ der Ausgaben für Lebensmittel in der Grundgesamtheit liegt nun mit einem Vertrauen von 95% zwischen 43,98 und 58,26 EUR.
Vergleich der Schätzungen aus a) und b)
Eine Vervierfachung des StPr-Umfangs von n = 25 auf n = 100 halbiert die Spannweite des Konfidenzintervalls von etwa 30 auf etwa 15 EUR.
2. Aufgaben zur Schätzung der Standardabweichung
a) Aufgaben zur Schätzung der Standardabweichung bei n ≤ 30
Aufgabe 50
Mit der Aufgabe greifen wir auf die Aufgabe 45 zurück. Dort wurde von der Geschäftsleitung einer Drogeriekette auf Grundlage einer ad-hoc- Umfrage unter 10 Kunden, die ein Durchschnittseinkommen von 1600 EUR und eine Standardabweichung ŝ von 250 EUR ergab, eine Schätzungen für μ durchgeführt. Diese soll nun um eine Schätzung für σ ergänzt werden.
Wo bzw. in welchem Bereich wäre denn nun der Parameter σ der Grundgesamtheit zu vermuten?
Führen Sie auf der Basis dieser Stichprobe und unter der Annahme einer normalverteilten Grundgesamtheit die Schätzung für die Standardabweichung der Grundgesamtheit mit einem Konfidenzniveau von 95 % durch.
 Diese Aufgabe ist
hier in 4 Schritten zu lösen! Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen
zu berücksichtigen.
Bitte geben Sie die χ²-Werte in die Eingabefenster wie angegeben und die Resultate
mit 2 Dezimal-Stellen ein. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden χ²-Werte finden Sie in der Tabelle 2 der Tabellenübersicht
.
b) Aufgaben zur Schätzung der Standardabweichung bei n > 30
Aufgabe 51
Die Kette hat zur endgültigen Klärung des Konfidenzintervalls für σ die Befragung mit einem Stichprobenumfang von n = 550 wiederholt und als Ergebnis ein ŝ = 220 EUR erhalten.
Führen Sie nun die Schätzung auf Basis der großen Stichprobe und einem Konfidenzniveau von 95 % durch!
Diese Aufgabe ist
hier in 5 Schritten zu lösen! Bitte geben Sie die Z-Werte in die Eingabefenster wie angegeben und die Resultate
mit 2 Dezimal-Stellen ein. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden Z-Werte finden Sie in der Tabellenübersicht
. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen
zu berücksichtigen.
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