Beispiele und Aufgaben im Modul V-3 Konfidenzintervalle für den Anteilswert π

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Beispiele und Aufgaben im Modul V-3 Konfidenzintervalle für den Anteilswert π

1. Beispiele zur Schätzung des Anteilswertes π bei n · p(1-p) ≥ 9

Ein Internetprovider plant eine spezielle Werbekampagne in Regionen mit einer unterdurchschnittlichen Internetnutzung. Dazu soll der Anteil von Haushalten mit Netzzugang nicht zu hoch sein. Zur Auswahl passender Regionen führt er jeweils Zufalls-Stichproben im Umfang von n = 100 Haushalten durch. In einer der Region ergibt sich ein p von 0,68. In welchem Intervall ist dort bei einem Konfidenzniveau von 0,99 der Anteilswert der Grundgesamtheit zu erwarten?.

a) Die Vorgaben

Mit Hilfe einer Konfidenzschätzung soll ermittelt werden, in welchem symmetrischen Bereich um den Stichprobenanteilswert von p = 0,68 der Parameter π der Grundgesamt zu vermuten ist.

b) Die Prüfung der Voraussetzungen

Wir prüfen zuerst, ob die diskrete Binomial-Verteilung der Variablen p hinreichend durch eine Normalverteilung approximiert werden kann.
Die Approximationsbedingung lautet: n · p(1-p) ≥ 9, konkret: 100 · 0.68(1-0.68)= 21,76 ≥ 9. Damit ist die Bedingung erfüllt.
Da die Anzahl der Haushalte in den ins Auge gefassten Regionen vermutlich über 2000 liegt, kann der Endlichkeitsfaktor auf "1" gesetzt werden.
Wir ermitteln danach die Parameter der Normalverteilung:
p hat einen Erwartungswert E(p) = π und
eine Varianz von VAR(p) = π(1-π)/n. Zur Berechnung der Varianz schätzen wir π durch p und erhalten VAR(p) = 0.68(1- 0.68)/100 = 0.002176.
Da n ≤ 1000 ist die Stetigkeitskorrektur zu berücksichtigen.

c) Die Ermittlung des Z_α/2-Werts

Ein Konfidenzniveau von 0,99 ergibt für die Schätzung einen Z_α/2-Wert von 2,58 (vgl. die Werte in dieser Tabellenübersicht .

d) Die Durchführung der Schätzung

Aus der Formel für das Konfidenzintervall für π ergibt sich folgender unterer Grenz-Wert:
Aus der Formel für das Konfidenzintervall für π ergibt sich folgender oberer Grenz-Wert:

e) Die Darstellung des Konfidenzintervalls

Das Konfidenzintervall beträgt:

f) Das Ergebnis der Schätzung

Der Anteilswert der Grundgesamtheit π liegt mit einem Vertrauen von 0,99 zwischen 55,5 %und 80,5 %.

2. Aufgaben zur Anteilswert-Schätzung

Aufgabe 48

Ein Autokonzern plant den Bau eines Mittelklassewagens mit Hybridantrieb. Es soll überprüft werden, wie groß der Anteil interessierter Kunden ist. Mit dieser Frage wird ein Meinungsforschungsinstitut beauftragt, welches eine StPr im Umfang von n = 1200 zieht. Es ergibt sich ein Wert von 13% interessierten Kunden. In welchem Intervall liegt der Anteil in der GG, wenn das Konfidenzniveau mit 95% angegeben ist?

a) Vorbemerkung

Im nachfolgenden Lösungsteil werden Ihnen wieder zwei Ausführungen angeboten: Die erste (für Fortgeschrittene) prüft nur die Voraussetzungen und das Ergebnis. Dazu müssen Sie die Voraussetzungen in Punkt 1) und 2) klären, selbst die passende Formel auswählen, die relevanten Werte bestimmen und das Ergebnis berechnen. Der dem vorgegebenen Konfidenzniveau entsprechende Z-Wert ist unter 3) einzusetzen. Sie finden Sie in dieser Tabellenübersicht .
Die berechneten Werte können Sie unter 4) einsetzen.
Die zweite Ausführung (für Einsteiger) führt Sie schrittweise über den Lösungsweg. Dabei werden ebenfalls die Voraussetzungen geprüft, anschließend werden Sie zur angemessenen Formel geleitet und können danach die korrekten Werte eingeben. Zu jedem Einzelschritt erfolgt eine Ergebniskontrolle.

b) Kurzpräsentation der Lösung

c) Ausführliche Präsentation des Lösungsweges

Die obige Aufgabe ist hier in 4 Schritten zu lösen! Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

Aufgabe 49

In Aufgabe 36 c) wurde bei n = 2000 und p = 0,04 die Hypothese abgelehnt, dass eine Partei A in einer 50 000 Einwohner umfassenden Gemeinde die 5 % - Hürde überwinden könne. Um die Wahlkampfchancen realistisch beurteilen zu können, soll das Ergebnis der Stichprobe nun mit einer 90%-igen Konfidenz zur Schätzung des aktuellen Stimmenanteils von A verwendet werden.

Die obige Aufgabe ist hier in 4 Schritten zu lösen! Der entsprechende Z-Wert ist in dieser Tabellenübersicht zu finden. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen zu berücksichtigen.

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