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1. Konfidenz des Anteilswerts der Grundgesamtheit unter der Bedingung n · p · (1-p ) < 9

Die originäre Stichprobenverteilung der p ist die Binomialverteilung. Wenn n · p · (1-p ) < 9, kann die Binomialverteilung nicht durch die Normalverteilung approximiert werden. In diesem Fall werden keine Schätzungen von π durchgeführt.

2. Konfidenz des Anteilswerts der Grundgesamtheit unter der Bedingung n · p · (1-p )≥ 9

a) Vorbemerkung

• Wenn n · p · (1-p ) ≥ 9, ist p annähernd normal verteilt (vgl. die Punkte C und D in Modul "Stichprobenverteilung der p), so dass Konfidenzintervalle bestimmt werden können.

• Wenn n < 1000 muss dabei die Stetigkeitskorrektur SK = 1⁄2n vorgenommen werden.

• Ebenso ist bei gegebenen Umständen der Endlichkeitsfaktor zu berücksichtigen.

b) Die Ableitung der Formel für ˜π

• Die Ableitung der Formel für das Konfidenzintervall des Anteilswert basiert bei n · p · (1-p ) ≥ 9 auf der Wahrscheinlichkeit, dass bei einem gegebenen π die normalverteilten Anteilswerte p mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α in einen symmetrischen Bereich um π mit der unteren Grenze p _u und der oberen Grenze p _o fallen.
  Entsprechendes gilt für die Standardnormalvariable (im Folgenden ohne Berücksichtigung desr Stetigkeitskorrektur):
  .

• Über die Standardnormalvariable erhält man durch Auflösung der Ungleichung nach π die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig realisiertes Stichprobenintervall den Parameter der Grundgesamtheit abdeckt. Da π sowohl im Zähler wie im Nenner des Bruchs auftritt, muss zur Ableitung nach π, π im Nenner über p punktgeschätzt werden.
  .

• Nach dem Ziehen der Stichprobe erhält man analog zur Wahrscheinlichkeit für das Intervall die Konfidenz K, dafür dass der Anteilswert der Grundgesamtheit π mit einem Konfidenzniveau 1 - α im Intervall vermutet werden kann:
  .

c) Das Konfidenzintervall für den Anteilswert π

• Bei n/N > 0,05 muss in der Formel für das Konfidenzintervall der Endlichkeitsfaktor berücksichtigt werden.

• Die Formel für das Konfidenzintervall für den Anteilswert lautet ohne Stetigkeitskorrektur:

  
  

• Die Formel für das Konfidenzintervall für den Anteilswert lautet mit Stetigkeitskorrektur:

  
  

letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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