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Beispiele und Aufgaben im Modul V-2 Konfidenzintervalle für den Mittelwert µ
1. Beispiele zur Schätzung des Mittelwert μ
a) Rechenbeispiele
Ein Theater möchte das Durchschnittsalter µ seiner Besucher ermitteln und führt deshalb eine Befragung durch. Auf der Basis von Interviews mit 150 der regelmäßigen 3500 Besucher ergibt sich ein Durchschnittsalter von 53,17 Jahren. Die Standardabweichung  beläuft sich auf 3,7 Jahre. Das Konfidenzintervall soll 95% betragen.
Die Vorgaben
Mit Hilfe einer Konfidenzschätzung soll ermittelt werden, in welchem symmetrischen Bereich um den Stichprobenmittelwert X̄ = 53,17 das Durchschnittsalter μ in der Grundgesamtheit zu vermuten ist. Das Konfidenzniveau ist gegeben mit: 1- α = 0,95. Da σ unbekannt ist, arbeiten wir mit ŝ = 3,7.
Die Prüfung der Voraussetzungen
Da n > 30, können wir uns trotz unbekanntem σ bei der Schätzung auf die Normalverteilung von X̄
stützen.
Ferner ist n/N kleiner als 0,05, der Endlichkeitsfaktor muss also nicht bedacht werden.
Die Ermittlung des Zα/2-Werts
Zur Durchführung der Schätzung benötigen wir den Z-Wert (Zα/2), der sich für das gewählte Konfidenzniveau 1 - α = 0,05 ergibt. Aus der Tabelle erhalten wir: Zα/2 = Z0,975 = 1,96. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden z-Werte finden Sie in Tabelle 1 der Tabellenübersicht
.
Die Durchführung der Schätzung
Aus der Formel für das Konfidenzintervall für μ erhalten wir folgenden oberen und unteren Grenz-Wert:
Die Darstellung des Konfidenzintervalls
Das Konfidenzintervall beträgt:
Das Ergebnis der Schätzung
Der Mittelwert der Grundgesamtheit µ liegt mit einem Vertrauen von 95% zwischen 52,5779 und 53,7621 Jahren.
b) Konfidenzintervalle mit SPSS
Die gängigen tabellarischen Auswertungen mit SPSS umfassen im Allgemeinen die Berechnung des arithmetischen Mittels. SPSS berechnet im Rahmen der explorativen Datenanalyse dazu auch die Konfidenzbereiche. Dies sei hier anhand einer Auswertung des Beispieldatensatzes demonstriert.
Screenshot V-1: Berechnung von Konfidenzintervallen mit SPSS
Durchführung der folgenden Schritte:
Screenshot V-2: Ergebnisse zu den Konfidenzintervallen mit SPSS
2. Aufgaben zur Schätzung des Mittelwert μ
Aufgabe 44
Ein Student möchte während seines Studiums seinen Monatswechsel aufbessern. Da er seine Statistikklausur mit Note "1" abgeschlossen hat, denkt er daran, eine spezielle Klausurvorbereitung für seine Mitstudierenden anzubieten. Allerdings ist er sich im unklaren darüber, welchen Stundenlohn er verlangen kann.
Deshalb befragt er 55 potentielle Interessenten, wie viel ihnen ein solcher Service pro Stunde wert sei. Er erhält einen mittleren Wert von 13,45 EUR, σ – das sei bekannt – liegt bei 1,25 EUR.
In welchem Intervall könnte der realistische Stundenlohn liegen, wenn das Konfidenzintervall mit 90% angegeben ist?
a) Vorbemerkung
Im nachfolgenden Lösungsteil werden Ihnen zwei Ausführungen angeboten:
Die erste (für Fortgeschrittene) prüft nur die Voraussetzungen und das Ergebnis. Dazu müssen Sie die Voraussetzungen in Punkt 1) und 2) klären, selbst die passende Formel auswählen, die relevanten Werte bestimmen und das Ergebnis berechnen. Der dem vorgegebenen Konfidenzniveau entsprechende Z-Wert ist unter 3) einzusetzen. Sie finden Sie in
Tabellenübersicht
.
Die berechneten Werte können Sie unter 4) einsetzen.
Die zweite Ausführung (für Einsteiger) führt Sie schrittweise über den Lösungsweg. Dabei werden ebenfalls die Voraussetzungen geprüft, anschließend werden Sie zur angemessenen Formel geleitet und können danach die korrekten Werte eingeben. Zu jedem Einzelschritt erfolgt eine Ergebniskontrolle.
b) Kurzpräsentation der Lösung
c) Ausführliche Präsentation des Lösungsweges
 Die obige Aufgabe ist
hier in drei Schritten zu lösen!
Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen
zu berücksichtigen.
Bitte geben Sie die Z- bzw. t-Werte in die Eingabefenster wie angegeben und die Resultate
mit 2 Dezimal-Stellen ein. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden z- bzw. t-Werte finden Sie in dieser Tabellenübersicht
. Alle Dezimalstellen werden mit einem Punkt abgegrenzt.
Aufgabe 45
Mit der Aufgabe greifen wir auf ein Beispiel aus dem Modul zum Mittelwert-Test zurück. Dort prüfte die Geschäftsleitung einer Drogeriekette, ob sie in einem Stadtteil (10.000 potentielle Kundlnnen) eine Filiale eröffnen sollte. Die Neugründung werde durchgeführt werden, wenn das für Konsumausgaben verfügbare Durchschnittseinkommen im Stadtteil 1500 EUR beträgt.
In einer ad-hoc- Umfrage unter 10 Kunden ergab sich ein Durchschnittseinkommen von 1600 EUR und eine Standardabweichung ŝ von 250 EUR. Bei einem Signifikanzniveau von 10 % wurde die Hypothese zurück gewiesen, dass das Durchschnittseinkommen 1500 EUR beträgt.
Hätte die Marketingabteilung der Drogeriekette auf Basis der Stichprobenergebnisse auch Schätzungen durchführen können? Wo bzw. in welchem Bereich wäre denn nun der Parameter der Grundgesamtheit zu vermuten?
- Führen Sie auf Basis der obigen Stichprobe eine Punktschätzung für μ durch!
Bestimmen Sie mit Hilfe derselben Stichprobe Konfidenzintervalle für μ bei einem Konfidenzniveau von 95 bzw. 99 %!
Diese Aufgabe ist
hier in sechs Schritten zu lösen! Bitte geben Sie die Z- bzw. t-Werte in die Eingabefenster wie angegeben und die Resultate
mit 2 Dezimal-Stellen ein. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden z- bzw. t-Werte finden Sie in dieser Tabellenübersicht
.
Alle Dezimalstellen werden mit einem Punkt abgegrenzt. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen
zu berücksichtigen.
Aufgabe 46
Die Kette hat im angeführten Beispiel zur endgültigen Klärung die Befragung mit einem Stichprobenumfang von n = 550 wiederholt und als Ergebnis ein X̄ = 1550 EUR und ein ŝ = 220 EUR erhalten.
Führen Sie nun die Schätzung auf Basis der großen Stichprobe und einem Konfidenzniveau von 95 % durch!
Diese Aufgabe ist
hier in 4 Schritten zu lösen! Bitte geben Sie die Z- bzw. t-Werte in die Eingabefenster wie angegeben und die Resultate
mit 2 Dezimal-Stellen ein. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden z- bzw. t-Werte finden Sie in dieser Tabellenübersicht
.
Alle Dezimalstellen werden mit einem Punkt abgegrenzt! Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen
zu berücksichtigen.
Aufgabe 47
Die Marketingabteilung einer Supermarktkette möchte für die Dimensionierung des Marktes wissen, wie viel Geld die Haushalte eines Stadtteils durchschnittlich für Lebensmittel ausgeben.
- Eine Stichprobe vom Umfang n = 25 erbrachte ein X̄ = 250 EUR und ein ŝ = 50 EUR. Innerhalb welcher Grenzen ist mit einem Konfidenzniveau von 95% der Parameter μ der Grundgesamtheit zu finden?
- Bei einer größeren Stichprobe von n = 100 ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei a). Welcher Konfidenzbereich gilt jetzt?
Diese Aufgabe ist
hier in 6 Schritten zu lösen! Bitte geben Sie die Z- bzw. t-Werte in die Eingabefenster wie angegeben und die Resultate
mit 2 Dezimal-Stellen ein. Die dem vorgegebenen Signifikanzniveau entsprechenden z- bzw. t-Werte finden Sie in dieser Tabellenübersicht
.
Alle Dezimalstellen werden mit einem Punkt abgegrenzt! Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in diesen Erläuterungen
zu berücksichtigen.
Hinweis
Am Ende dieser Seite finden Sie einen Link auf die ausführlichen Musterlösungen zu den Aufgaben 45 - 47.
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