Konzepte und Definitionen im Modul V-2 Konfidenzintervalle für den Mittelwert µ

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Konzepte und Definitionen im Modul V-2 Konfidenzintervalle für den Mittelwert µ

1. Die Voraussetzungen der Ableitung der Formel für ˜μ

a) Die Stichprobenverteilung der X̄ als Ausgangspunkt

Die Ableitung der Formel für das Konfidenzintervall des Mittelwerts μ basiert auf der Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte X̄ und auf der Wahrscheinlichkeit, dass sie mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α in einen symmetrischen Bereich um μ mit der unteren Grenze X̄ _u und der oberen Grenze X̄ _o fallen. Analoges gilt für die Standardnormalvariable Z.

Abb. V-2 Stichprobenverteilung der X̄ bei gegebenem μ

b) Das Stichprobenintervall um X̄

Durch Einsetzen von und Auflösung der Ungleichung nach μ erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig realisiertes Stichprobenintervall den Parameter der Grundgesamtheit abdeckt:

(Zur Erinnerung: Im Falle des Hypothesentests wurde die Ungleichung zur Bestimmung der Grenzen nicht nach μ sondern nach X̄ aufgelöst.)

c) Graphische Darstellung des Stichprobenintervalls

Die Aussage, dass dass der Parameter der Grundgesamtheit in 95% aller Stichproben in den Intervallen um X̄ liegen, lässt sich auch graphisch veranschaulichen. Alle Stichprobenmittelwerte, die in der Abb. V-3 in den schraffierten 95%-Bereich fallen, konstituieren Schätzintervalle der Breite des schraffierten Bereichs. Entsprechend liegt in ihnen mit einer Sicherheit von 95% der wahre Parameter der Grundgesamtheit.

Abb. V-3 Zufallsintervalle um X̄

In der Darstellung sind drei mögliche Stichprobe eingezeichnet. Wie man sieht, enthalten die Intervalle der Stichprobe 2 und 3 den Wert Grundgesamtheit. Das Intervall der Stichprobe 1 enthält ihn nicht.

d) Das Konfidenzintervall

Nach dem Ziehen der Stichprobe erhält man analog zur Wahrscheinlichkeit für das Intervall die Konfidenz K, dafür dass der Mittelwert der Grundgesamtheit μ mit einem Konfidenzniveau 1 - α im Intervall vermutet werden kann:
.

e) Die Punkt-Schätzung von σ durch ŝ

Je nach Sachlage wird das unbekannte σ durch die Standardabweichung ŝ der Stichprobe geschätzt. In Abhängigkeit vom Stichprobenumfang werden die Grenzen des Intervalls auf Grundlage einer t-Verteilung (bei n ≤ 30) oder einer Standardnormalverteilung (bei n > 30) ermittelt.

f) Die Berücksichtigung des Endlichkeitsfaktors

Bei n/N > 0,05 muss in der entsprechenden Formel für die Konfidenzintervalle der Endlichkeitsfaktor berücksichtigt werden.

1. Die Formeln für das Konfidenzintervall ˜μ

a) Das Konfidenzintervall für den Mittelwert μ bei bekanntem σ

Das Konfidenzintervall beträgt:

b) Die Konfidenzintervalle für den Mittelwert μ bei unbekanntem σ

ist unbekannt, n ≤ 30
Das Konfidenzintervall beträgt:
ist unbekannt, n > 30
Das Konfidenzintervall beträgt:

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