Konzepte und Definitionen im Modul Allgemeine Aspekte des Testmodells
Punkt- und Bereichshypothesen
Beim Hypothesentest werden zwei Arten von Hypothesen
unterschieden: Die Punkt- und die Bereichshypothese. Wird eine
Hypothese (H) als Punkthypothese formuliert, überprüft
der Test die Glaubwürdigkeit genau eines Wertes, nämlich
des festgelegten. Die Hypothese "Das durchschnittliche
Bruttoeinkommen in dem Ort A beträgt 3400 DM pro Person"
kann nur dann angenommen werden, wenn der gefundene Wert aus der
Stichprobe sich nicht signifikant von 3400 unterscheidet.
In Symbolen schreibt man:
 .
Stellen wir uns vor, dass die Untersuchung von einem Baumarkt
durchgeführt wird, der prüfen möchte, ob die
Käuferstruktur für eine Geschäftsansiedlung
ausreichend betucht ist. In diesem Falle wäre die
Geschäftsleitung sicherlich auch zu einem Bau bereit, wenn das
mittlere Nettoeinkommen über den geforderten 3400 DM liegt.
Dieses Beispiel zeigt, dass Punkthypothesen gerade in den
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften oft nicht so geeignet sind wie
Bereichshypothesen. Eine Bereichshypothese umfasst deshalb
nicht nur einen bestimmten Wert, sondern einen Bereich einschließlich
eines Wertes bis ,
d.h. wir müssen zwei Arten von Bereichshypothesen unterscheiden:
 und .
Oft bietet es sich bei Bereichshypothesen an, nicht die
vordergründig erwünschte Hypothese auf Annahme (hier am
Beispiele des Baumarktes: ),
sondern die unerwünschte Hypothese (hier: )
auf Ablehnung zu testen. I.A. wird die letztlich getestete Hypothese
als
 und
die Alternativhypothese als
 bezeichnet.
Ablehnungs- und Annahmebereiche
Eine Hypothese H0 kann nach einem Test entweder
angenommen oder abgelehnt werden. Die Frage, wann eine Hypothese
abgelehnt und wann angenommen wird, hängt davon ab, wie weit der
hypothetische Wert der Grundgesamtheit und der ermittelte Wert der
Stichprobe auseinanderklaffen dürfen, ohne dass von einem
signifikanten Unterschied gesprochen werden muss. Bevor also ein Test
durchgeführt wird, muss ein entsprechendes Signifikanzniveau
gewählt werden, das mit
 gekennzeichnet
wird. Es bestimmt die Größe des Bereichs, in dem die H0
abgelehnt wird (vgl. Abb.).
Fällt nun der Wert aus der Stichprobe in den
Ablehnungsbereich, wird die H0 abgelehnt. Wo der
Ablehnungs- bzw. der Annahmebereich liegt, entscheidet die Richtung
des Tests. In dem Fall:
liegt ein rechtsseitiger Test vor, bei
ein linksseitiger Test.
Bei einem rechtsseitigen Test führen zu große Werte zum
Ablehnen der H0, bei einem linksseitigen Test zu kleine
Werte zum Ablehnen.
Wird ein beidseitiger Test durchgeführt:
führen zu kleine bzw. zu große Werte
zum Ablehnen der H0. Die folgende Graphik zeigt die
Annahme- und Ablehnungsbereiche für die verschiedenen
Testansätze:
|
linksseitiger Test
|
beidseitiger Test
|
|
rechtsseitiger Test
|
Das Signifikanzniveau
Das konkrete Signifikanzniveau
muss vor jedem Test individuell gewählt werden. In den
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften liegen typische Werte bei 10%,
5% oder 1%. Diese Größe bestimmt sowohl wie groß der
Ablehnungsbereich als auch wie groß der Annahmebereich der
Hypothese
ist.
Das Wählen des Signifikanzniveaus ist immer eine
"Gradwanderung". Je größer der Wert, desto
größer der Ablehnungsbereich, desto größer die
Chance die H0 zugunsten der H1 zu verwerfen.
Jedoch sinkt damit gleichzeitig die sog. Signifikanz des Ergebnis.
Unter der Voraussetzung, dass die eigentlich unerwünschte
Hypothese auf Ablehnung getestet werden soll (und nur unter dieser
Voraussetzung macht der Begriff einer hohen Signifikanz einen
positiven Sinn), erschwert ein kleiner
 -Wert
die Ablehnung der unerwünschten Hypothese. Fällt das
Stichprobenergebnis dennoch in den Ablehnungsbereich, kann man mit
einer hohen Signifikanz von der Richtigkeit der erwünschten
Hypothese ausgehen. Wären die Folgen einer unerwünschten
Hypothese sehr gravierend, empfiehlt es sich mit noch kleinerem
Signifikanzniveau als 1% zu testen. In explorativen Untersuchungen
kann aber auch gerade am Anfang des Forschungsprozesses auch ein
Niveau von 10% gewählt werden.
Bei einseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich mit der Größe
entweder auf der linken oder der rechten Seite der Verteilung. Bei
einem beidseitigen Test teilt sich die Größe
 in
zwei gleich große Bereiche
 auf.
Der Alpha- und der Beta-Fehler
Fällt das Stichprobenergebnis in den Ablehnungbereich, heißt
das noch nicht notwendigerweise, dass die abgelehnte Hypothese falsch
ist. Da mit der Wahrscheinlichkeit von ein
Stichprobenwert auch bei richtiger Hypothese in den Ablehnungbereich
fällt, begehen wir in diesem Fall den Fehler, die richtige
Hypothese abzulehnen. Dieser Fehler wird deshalb -Fehler
genannt.
Fällt das Stichprobenergebnis andererseits in den
Annahmebereich, muss das noch nicht bedeuten, dass der hypothetische
Wert der Grundgesamtheit der "Realität" entspricht. Es
kann durchaus passieren, dass man sich dann für eine "falsche"
Hypothese entscheidet. Diese Tatsache bezeichnet man als -Fehler.
Wir unterscheiden somit zwei Fehlerarten:
 -
und
 -Fehler.
Dieser Sachverhalt ist nochmals in der folgenden Tabelle dargestellt:
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|
In
der Grundgesamtheit gilt die H0
|
|
|
ja
|
nein
|
|
Stichprobe
fällt in den Annahmebereich
|
ja
|
richtige
Entscheidung, kein Fehler
|
 -Fehler
|
|
nein
|
 -Fehler
|
richtige
Entscheidung, kein Fehler
|
Lokalisierung der Grenzwerte
Sind die Hypothesen aufgestellt und das Signifikanzniveau gewählt,
muss noch bestimmt werden, wo die Grenzwerte des Annahme- bzw.
Ablehnunsbereiches (auch kritische Werte oder Rückweisungspunkte)
exakt liegt. Die Lokalisierung der kritischen Grenze kann auf zwei
Arten erfolgen.
Am einfachsten vergleicht man den/die - aus der Tabelle bei
gegebenem
 nachgeschlagenen
- kritischen Wert(e)
 bzw. mit
dem Wert der Z-Transformation:
Für eine Hypothese
 zeigt
die nachfolgende Graphik bei einem Signifikanzniveau von den
Annahme- und Ablehnungsbereich der Hypothese:
Der
Ablehnungsbereich (hier für einen rechtsseitigen Test) ist dabei
schraffiert.
Im anderen Fall kann die z-Formel nach dem kritischen -Wert
aufgelöst werden, so dass man folgende Formeln erhält (wenn
nicht bekannt ist, was die Regel ist, wird es durch
geschätzt, vgl. die nächsten Module):
für den
beidseitigen Test:
für
den rechtsseitigen Test:
für
den linksseitigen Test:
Die kritischen Werte sind graphisch in den Abbildung im Abschnitt
„Punkt- und Bereichshypothesen“ dargestellt.
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