Vorbemerkungen

Tests von Hypothesen über Anteilswerte in einer Grundgesamtheit basieren auf der Stichprobenverteilung von Anteilswerten. Diese bezieht sich bei kleinen Stichproben mit n · π (1- π) ≤ 9 auf die Anzahl K der gewünschten Ereignisse A, deren Wahrscheinlichkeit durch eine Binomialverteilung gegeben ist. Aufgrund der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung können sich die Tests bei n · π (1- π) > 9 auf eine Normalverteilung stützen.
Die zu testenden Hypothesen können als Punkthypothese bzw. als Bereichshypothesen formuliert werden. Letztere führen dann wieder zu links- oder rechtsseitigen Tests. Im Folgenden betrachten wir zuerst Hypothesentests auf der Basis n · π (1- π) ≤ 9

1. Hypothesentests auf der Basis n · π (1- π) ≤ 9

a) Die Ausgangsbedingungen

Tests unter dieser Voraussetzung stützen sich auf die diskrete Binomialverteilung, wodurch die freie Wahl der Signifikanzniveaus auf die jeweils für die zugrundeliegende Verteilung vorgegebenen Randwahrscheinlichkeiten beschränkt ist. Insbesondere sind für π ≠ 0,5 bei Punkthypothesen keine symmetrischen Randbereich gegeben (vgl. nachfolgendes Beispiel). Gleichwohl sollte versucht werden, möglichst nahe an die konventionellen Signifikanzniveaus heranzukommen.
Im konkreten Fall ergeben sich die Grenzflächen und ihre Wahrscheinlichkeiten aus den Tabellen der Binomialverteilung. Dabei ist bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten zu beachten, dass die Zurückweisungspunkte bereits zu den Ablehnungsbereichen gehören.

b) Die Testmodelle

Dabei erhalten wir bei:

• H ₀: π = π ₀

  einen beidseitigen Test mit einem Annahmebereich und einer Annahmewahrscheinlichkeit

  P( k _{r u} < K < k _{r o}) = 1 - α ₀

• H ₀: π ≥ π ₀

  einen linksseitigen Test mit einem Ablehnungsbereich und einer Ablehnungswahrscheinlichkeit

  P( K ≤ k _ru ) = α ₀ und bei

• H ₀: π ≤ π ₀

  einen rechtsseitigen Test mit einem Ablehnungsbereich und einer Ablehnungswahrscheinlichkeit

  P( K ≥ k _{r o}) = α ₀

c) Die Stichprobenverteilung der K

Am Beispiel einer Stichprobe im Umfang von n = 20 bei einer Hypothese bezüglich des gewünschten Ereignisses A in der Grundgesamtheit von genau, mindestens oder höchstens 70 % (d.h. π = 0,7) sollen diese Testvarianten rechnerisch und graphisch vorgestellt werden.
Für diesen Ausgangssachverhalt gilt n · π (1- π) = 20 · 0,7 · 0,3 = 4,2 ≤ 9.
Als Parameter der Verteilung des Stichprobenwert K erhalten wir einen

• Erwartungswert E(K) = n · π = 14 und eine

• Varianz VAR(K) = n · π · (1 - π) = 4,2.

Die Wahrscheinlichkeiten f(K), dass das Ereignis A K = 7....20 mal auftritt, sind in Tab. IV-2 und Abb. IV-10 dargestellt.

Tab. IV-2 Binomialverteilung (n = 20, π = 0,7)

Abb. IV-10 Binomialverteilung (n = 20, π = 0,7)

d) Die Grenzen der Annahme- und Ablehnungsbereiche auf Grundlage der K

• Für eine Punkthypothese H ₀: π = π ₀ = 0,7 kann das Signifikanzniveau durch Kumulation der linken und rechten Randwahrscheinlichkeiten bestimmt werden. Als Möglichkeiten ergeben sich:

  • P(8 < K < 19) = 1 - 0,0125 mit einem Signifikanzniveau von etwa 1 % (α ₀ = 0,0125), oder

  • P(9 < K < 18) = 1 - 0,0527 mit einem Signifikanzniveau von etwa 5% (α ₀ = 0,0527), vgl. Abb. IV-10.

• Für die Bereichshypothese H ₀: π ≥ π ₀

  ergibt sich bei einem Ablehnungsbereich K ≤ 10 mit P( K ≤ 10 ) = 0,048 ein etwa 5%-iges Signifikanzniveau (α ₀ = 0,048).

• Für die Bereichshypothese H ₀: π ≥ π ₀

  ergibt sich bei einem Ablehnungsbereich K ≥ 18 mit P( K ≥ 18) = 0,0354 ein Signifikanzniveau zwischen 3 und 4 & (α ₀= 0,0345).

2. Hypothesentests auf der Basis n · π (1- π) > 9

a) Die Ausgangsbedingungen

Tests unter dieser Voraussetzung stützen sich auf die stetige Normalverteilung, wodurch eine freie Wahl der Signifikanzniveaus ermöglicht wird. Insbesondere sind auch für π ≠ 0,5 bei Punkthypothesen symmetrische Randbereiche gegeben. Allerdings ist bei der Berechnung der Zurückweisungspunkte zu beachten, dass für n ≤ 1000 eine sog. Stetigkeitskorrektur zu empfehlen ist.
Im konkreten Fall ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für spezifische k nach einer Standardisierung aus den Tabellen der Standard-Normalverteilung. Die Testalgorithmen werden im Folgenden nicht für die k sondern für die Anteilswerte p = k/n entwickelt.

b) Die Stichproben-Verteilung der p

Die Anteilswerte p sind im Falle des Hypothesentests normalverteilt mit einem

• Erwartungswert E(p) = n · π ₀ und einer

• Standardabweichung σ_p = √ 1/n · π ₀ (1- π ₀)

Unter Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur ± 1/2n resultiert daraus die Standardnormalvariable Z, wobei für den unteren Z-Wert die Stetigkeitskorrektur vom p-Wert abgezogen, für den oberen Z-Wert zum p-Wert hinzu addiert wird.

Bei n/N > 0,05 ist im Nenner der Endlichkeitsfaktor (EF) zu berücksichtigen.

c) Die Grenzen der Annahme-/ Ablehnungsbereiche für Testmodelle auf der Grundlage von p

Bei der Berechnung der Zurückweisungspunkte erhalten wir für die Hypothese

H 0: π = π 0 einen beidseitigen Test mit einer Annahmewahrscheinlichkeit P( Z r u ≤ Z ≤ Z r o) = 1 - α 0 woraus sich folgende Zurückweisungspunkte ergeben:

Abb. IV-11 beidseitiger Test

H 0: π ≥ π 0 einen linksseitigen Test mit einer Ablehnungswahrscheinlichkeit P( Z ≤ Z ru ) = α 0 woraus sich folgender unterer Zurückweisungspunkt ergibt:

Abb. IV-12 linksseitiger Test

H 0: π ≤ π 0 einen rechtsseitigen Test mit einer Ablehnungswahrscheinlichkeit P( Z ≥ Z r o) = α 0 woraus sich folgender oberer Zurückweisungspunkt ergibt:

Abb. IV-13 rechtsseitiger Test

Anmerkung:
Für alle Tests gilt bei n/N ≥ 0,05: .
Bei n/N > 30 gilt EF = 1.

d) Die Grenzen der Annahme-/ Ablehnungsbereiche für Testmodelle auf der Grundlage von Z

Im Modul Allgemeine Aspekte des Testmodells wurden unter Punkt 5 Testvarianten vorgestellt, die sich nicht auf die konkrete Verteilung der p beziehen, sondern auf die allgemeine Verteilung von Z. Danach wird der kritische Z_α-Wert, wie in den obigen Fällen, über das Signifikanzniveau bestimmt (vgl. Übersicht). Dieser Wert wird nun direkt mit dem Z-Wert aus der Formel abgeglichen. Bei n/N > 0,05 ist im Nenner der Endlichkeitsfaktor (EF) zu berücksichtigen.

• Beidseitiger Test bei H ₀: π = π ₀:
  

  Im beidseitigen Test wird die Nullhypothese angenommen, wenn:
  

• Linksseitiger Test bei H ₀: π ≥ π ₀:
  

  Im linksseitigen Test wird die Nullhypothese angenommen, wenn:
  

• Rechtsseitiger Test bei H ₀: π ≤ π ₀
  

  Im rechtsseitigen Test wird die Nullhypothese angenommen, wenn:
  
  Abb. IV-14 rechtsseitiger Test bei α = 0,05
  

Anmerkung:
Für alle Tests gilt bei n/N ≥ 0,05: .
Bei n/N > 30 gilt EF = 1.

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