Vorbemerkungen

1. Tests von Hypothesen über die Standardabweichung und die Varianz einer Grundgesamtheit basieren auf der Stichprobenverteilung der modifizierten Varianz. Diese ist durch eine Chi-Quadrat-Verteilung mit φ = n - 1 Freiheitsgraden gegeben.

2. Aufgrund der Approximation der Verteilung der durch die Normalverteilung können sich die Testmodelle bei n > 30 auf eine Normalverteilung mit stützen.

3. Voraussetzung für die folgenden Tests ist eine Normalverteilung der Stichprobenvariablen.

4. Die zu testenden Hypothesen können als Punkthypothese bzw. als Bereichshypothesen formuliert werden. Letztere führen dann wieder zu links- oder rechtsseitigen Tests.

5. Wie bereits bei den Tests von Hypothesen bezüglich des Mittelwertes und des Anteilswertes stehen auch für die hier vorgestellten Tests äquivalente Ansätze zur Verfügung. Annahme- und Ablehnungsbereiche können sowohl für

   • die Ausgangsgrößen (Varianzen und Standardabweichungen), wie für

   • die daraus abgeleiteten Größen χ² bzw. Z (nach einer Approximation) definiert werden.

   Tests auf der Basis eines Vergleich der Wahrscheinlichkeiten α und α₀ sind aufgrund der nur für bestimmte Wahrscheinlichkeiten tabellierten Werte ohne Verteilungsrechner nicht durchführbar .

Im Folgenden betrachten wir zuerst Hypothesentests auf der Basis n ≤ 30.

1. Hypothesentests auf der Basis n ≤ 30

• Tests unter dieser Voraussetzung stützen sich auf die nicht-symmetrische Chi-Quadrat-Verteilung, woraus bei beidseitigen Tests nicht-symmetrische Randbereiche resultieren.

• Im konkreten Fall erhalten wir die Grenzwerte für χ² bei gegebenen Freiheitsgraden φ = n - 1 und dem Signifikanzniveau aus der Tabelle der Chi-Quadrat-Verteilung. Es gilt dabei:
  
  χ²_ru = χ²_{(1 - α0/2)} bzw. χ²_{(1 - α0)} und
  χ²_ro = χ²_α0/2 bzw. χ²_α0
  

  Eine Tabelle für χ² kann hier als pdf-Datei heruntergeladen werden.

• Die Grenzen der Annahme-/ Ablehnungsbereiche für Testmodelle auf der Grundlage von ŝ lassen sich durch Auflösung von nach ŝ bestimmen.

a. Testmodell für H ₀: σ = σ ₀

Bei der Berechnung der Zurückweisungspunkte erhalten wir für die obige Hypothese einen beidseitigen Test :

Die Hypothese auf der Basis von χ² wird mit einer Annahmewahrscheinlichkeit von angenommen, wenn . Die Zurückweisungspunkte auf der Ebene von ŝ ergeben sich wie folgt: und

Abb. IV-15 beidseitiger Test

b. Testmodell für H ₀: σ ≥ σ ₀

Bei der Berechnung des Zurückweisungspunktes erhalten wir für die obige Hypothese einen linksseitigen Test:

Die Hypothese wird mit einer Ablehnungswahrscheinlichkeit von abgelehnt, wenn . Der untere Zurückweisungspunkt ergibt sich wie folgt:

Abb. IV-16 linksseitiger Test

c. Testmodell für H ₀: σ ≤ σ ₀

Bei der Berechnung des Zurückweisungspunktes erhalten wir für die obige Hypothese einen rechtsseitigen Test :

Die Hypothese wird mit einer Ablehnungswahrscheinlichkeit von abgelehnt, wenn . Der obere Zurückweisungspunkt ergibt sich wie folgt:

Abb. IV-17 rechtsseitiger Test

2. Hypothesentests auf der Basis n > 30

a. Testmodell für H ₀: σ = σ ₀

Bei der Berechnung der Zurückweisungspunkte erhalten wir für die obige Hypothese

• einen beidseitigen Test mit einer Annahmewahrscheinlichkeit von

  

• woraus sich folgende Zurückweisungspunkte ergeben:

  und

b. Testmodell für H ₀: σ ≥ σ ₀

Bei der Berechnung des Zurückweisungspunktes erhalten wir für die obige Hypothese

• einen linksseitigen Test mit einer Ablehnungswahrscheinlichkeit von

  

  

• woraus sich folgender unterer Zurückweisungspunkt ergibt:

  

c. Testmodell für H ₀: σ ≤ σ ₀

Bei der Berechnung des Zurückweisungspunktes erhalten wir für die obige Hypothese

• einen rechtsseitigen Test mit einer Ablehnungswahrscheinlichkeit von

  
  

• woraus sich folgender oberer Zurückweisungspunkt ergibt:

  

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