Vorbemerkung

Die Grundkonzeption der Mittelwerttests wurde bereits im vorherigen Modul Allgemeine Aspekte des Testmodells entwickelt. Dabei wurden deren zentrale Aspekte:

Punkt- und Bereichshypothesen,
die Definition von Annahme- und Ablehnungsbereiche für die Hypothesen,
die Wahl des Signifikanzniveaus,
die Testrisiken eines α- und eines β-Fehlers,
die Relevanz des Stichprobenumfangs sowie
die Ableitung der Grenzen des Annahmebereichs

behandelt.

1. Testbedingungen und -modelle

Die Bestimmung der Grenzen des Annahme-/Ablehnungsbereichs erfolgte im vorangegangenen Modul unter der (unrealistischen) Annahme, dass die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt sei, nicht hingegen deren Mittelwert μ. Im Allgemeinen ist σ unbekannt, kann aber über die Standardabweichung der Stichprobe ŝ geschätzt werden.

Damit ändern sich die Voraussetzungen der Bestimmung der Grenzen von Annahme- und Ablehnungsbereich. Im Kapitel zum Thema Stichprobenverteilungen des arithmetischen Mittels wurde gezeigt, dass die Größe mit n-1 Freiheitsgraden t-verteilt ist, wobei die t-Verteilung bei n > 30 durch die Standardnormalverteilung approximiert werden kann. Die gesuchten Grenzen lassen sich nun analog zum unrealistischen Fall eines bekannten σ aus der Auflösung der obigen Formel für t nach X̄ bestimmen. Daraus ergeben sich je nach Vorraussetzung folgende Testmodelle:

a) Tests unter der Annahme eines bekannten σ (zum Vergleich hier nochmals aufgeführt),

b) Tests unter Verwendung von ŝ bei n ≤ 30 und

c) Tests unter Verwendung von ŝ bei n > 30.

Für alle drei Ansätze werden jeweils die Modelle zum Testen von Punkt- und Bereichshypothesen formuliert, wobei zusätzlich noch der Endlichkeitsfaktor (EF) berücksichtigt wird. Wenn der Stichprobenumfang 5% oder weniger beträgt, gilt EF = 1, liegt er darüber, gilt .
Die Darstellungen der Ablehnungs- und Annahmebereiche für Punkt- und Bereichshypothesen in Abb. IV-6 - IV-8 beruhen auf der Standardnormalverteilung und beziehen sich deshalb auf die Fälle 1 und 3. Da die Graphen für die Standardnormalverteilung und die t-Verteilung einander sehr ähnlich sind, kann auf die graphische Veranschaulichung des 2. Falles hier verzichtet werden. Im Folgenden werden die Annahme- und Ablehnungsbereiche für die Punkthypothese und die beiden Bereichshypothesen graphisch und rechnerisch einander gegenübergestellt

2. Grenzen der Annahme-/ Ablehnungsbereiche für Testmodelle auf der Grundlage von X̄

a) Die Stichprobenvariablen

Die folgende Testvariante basiert auf dem Vergleich des in der Stichprobe ermittelten arithmetischen Mittels X̄ mit den Grenzwerten, die sich aus der Auflösung der Formel nach X̄ und dem Signifikanzniveau ergeben:

b) Die Bestimmung der Grenzen

c) Der Endlichkeitsfaktor

Für alle Tests gilt bei n/N ≥ 0,05
bei n/N > 30 EF = 1.

3. Grenzen der Annahme-/ Ablehnungsbereiche in äquivalenten Testmodellen

a) Tests auf der Grundlage von Z bzw. t

Im Modul Allgemeine Aspekte des Testmodells wurden unter Punkt 5 Testvarianten vorgestellt, die sich nicht auf die konkrete Verteilung der X̄ beziehen, sondern auf die allgemeine Verteilung von Z bzw. t. Danach wird der kritische Z_α- bzw. t_α-Wert, wie in den obigen Fällen, über das Signifikanzniveau bestimmt. Dieser Wert wird nun direkt mit dem t- bzw. Z-Wert aus der Formel abgeglichen.

Im beidseitigen Test wird die Nullhypothese angenommen, wenn:

Im linksseitigen Test wird die Nullhypothese angenommen, wenn:

Im rechtsseitigen Test wird die Nullhypothese angenommen, wenn:

Abb. IV-9 rechtsseitiger Test bei α = 0,05 und n > 30

b) Tests auf der Grundlage von Wahrscheinlichkeiten

Wie im Modul "Allgemeine Aspekte des Testmodells" unter Punkt 5 c) ausgeführt, kann eine Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung der Hypothese auch auf Basis des Vergleichs des Signifikanzniveaus α₀ mit der Wahrscheinlichkeit α getroffen werden, die sich für Werte ≥ ergibt. Ein Wert von α, der im beidseitigen Test kleiner als α₀/2, im links- und rechtsseitigen Test kleiner als α₀ ist, führt dann ebenfalls zur Ablehnung der Hypothese.

c) Der Endlichkeitsfaktor

Auch für die Tests unter a) und b) gilt bei n/N ≥ 0,05
bei n/N > 30 EF = 1.

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