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ViLeS 2 > Kap. III Stichprobenverteilungen > III-3 Stichprobenverteilungen der Anteilswerte > Konzepte und Definitionen |
Die Stichprobenanteilswerteresultieren
aus dem Ziehen einer Stichprobe aus einer dichotomen
Grundgesamtheit. Ihre Verteilung kann deshalb unmittelbar aus der
Binomialverteilung von
abgeleitet
werden.
Bei der Vorstellung der Binomialverteilung im Kapitel "Theoretische Verteilungen" hatten wir die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens der Ereignisse A und Ā in der Grundgesamtheit mit p und q = 1-p bezeichnet. In der Gegenüberstellung von Grundgesamtheit und Stichprobe werden nun die Wahrscheinlichkeiten der Grundgesamtheit mit griechischen Buchstaben also mit π und 1-π, die der Stichprobe mit p und 1-p bezeichnet.
Die Konstruktionsprinzipien für den Erwartungswert und die Varianz dieser Binomialverteilung sind
bereits aus dem Modul “Theoretische Verteilungen“ bekannt. Für die Stichprobenverteilung der K ergeben sie sich
als:und
.
Die Verteilung der Stichprobenvariablen K lässt sich direkt anhand der tabellierten Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ermitteln.
Abbildung III-9: Verteilung der Stichprobenvariablen K bei p = 0,7 und n = 20
Ab einer Varianz
kann
die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert
werden. Hierbei ist, wie erwähnt, die diskrete Verteilung durch
eine stetige zu approximieren. Dazu ist
eine Stetigkeitskorrektur (
)
zu berücksichtigen.
Es gilt dann:.
Auf diese Weise lassen sich die Wahrscheinlichkeiten dafür
berechnen, dass mehr als
und
weniger als
von
n Stichprobenelementen das betrachtete
Merkmal aufweisen. Hierbei
ist zu beachten, dass in
die
Werte
und
nicht
einbezogen sind.
Sollte dies doch gefordert sein, gilt hier und im Folgenden für die unter Grenze k - 1/2 und für die obere Grenze k + 1/2.
Die Standardnormalvariablen ergeben sich als tabellierte Prüfgröße unter Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur wie folgt:
für die untere Grenze:
und
für die obere Grenze:
Wenn K ab einer
Varianznormalverteilt
ist und der Anteilswert p dann mit
eine
Lineartransformation einer
normalverteilten Zufallsvariablen darstellt, ist nach der
Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung auch p
normalverteilt mit den Parametern:
Diese Verteilung der Stichprobenanteilswerte ergibt folgendes Bild:
Abbildung III-10: Verteilung der Stichprobenanteilswerte
Aus den obigen Formeln läßt sich für p die Z-Transformationen ableiten.
Bei und einer Stetigkeitskorrektur von
für
und
für
erhalten wir:
Durch Auflösen nach p können für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten
die
oberen und unteren Grenzen für p bestimmt werden:
In diesem Bereich liegenaller
Anteilswerte von Stichproben.
Anmerkung:
letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.
Adresse dieser Seite (evtl. in mehrere Zeilen zerteilt)
http://viles.uni-oldenburg.de/navtest/viles2/kapitel02x5_Stichprobenverteilungen/modul03_Stichprobenverteilungen~~lder~~lAnteilswerte/ebene01_Konzepte~~lund~~lD
efinitionen/02x5__03__01__01.php3