Konzepte und Definitionen im Modul III-2 Stichprobenverteilungen der modifizierten Standardabweichungen

Konzepte und Definitionen im Modul III-2 Stichprobenverteilungen der modifizierten Standardabweichungen
Druckversion:
Nach dem Drucken:
und zurück zum Dokument
Sollte das Drucken mit diesem Schaltknopf nicht funktionieren, nutzen Sie bitte die Druckfunktion in Ihrem Browser: Menü Datei -> Drucken

ViLeS 2 > Kap. III Stichprobenverteilungen > III-2 Stichprobenverteilungen der modifizierten Standardabweichungen > Konzepte und Definitionen

Konzepte und Definitionen im Modul III-2 Stichprobenverteilungen der modifizierten Standardabweichungen

1. Die Stichprobenverteilung der modifizierten Varianz ŝ²

a) Die Definition der Prüfgröße

Wie bereits bei der Einführung der -Verteilung angesprochen sind Zufallsvariablen, die auf Summen quadrierter Normalvariablen basieren, -verteilt, so auch die Stichprobenvarianzen.

Allerdings wird aus praktischen Gründen nicht direkt mit der Verteilung der modifizierten Varianz , sondern mit einer Prüfgrößegearbeitet.

b) Die Stichprobenverteilung der Prüfgröße

Diese Prüfgrößeist annähernd-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden¹.
Für Stichproben aus einer normalverteilten Grundgesamtheit, können wir deshalb bei schreiben:

Abbildung III-8: Stichprobenverteilung der Prüfgröße bei φ = 8

2. Die Abschätzungen eines Intervalls für die Standardabweichung ŝ

a) Die Definition des Intervalls

Analog zur Verteilung der Stichprobenmittelwerte kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass bei bekannter Varianz der Grundgesamtheit, die Standardabweichung der Stichprobe innerhalb bestimmter Grenzen realisiert wird.
Diese Grenzen werden mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit realisiert:.
Durch Auflösungen des Ausdrucksnachkönnen auch die Grenzen des Intervalls konkret bestimmt werden.

b) Die Grenzen des Intervalls

Da die-Verteilung nicht symmetrisch ist, ergeben sich hierbei, anders als im Falle der Standardnormalverteilung zwei unterschiedliche Werte. Wir erhalten:

für die untere Grenze:

und für die obere Grenze:

3. Die Approximation der χ²-Verteilung durch die Standardnormalverteilung

a) Die Definition der standardnormalverteilten Prüfgröße

Zuerst nehmen wir eine Approximation an die Normalverteilung vor:
ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert
und der Varianz .
Fürergibt sich daraus die standardnormal-verteilte Prüfgröße:

mit.

b) Die Grenzen des Intervalls

Daraus folgt durch Einsetzen vonund Auflösen nachund:

als untere Grenze:

und

als obere Grenze:

Im Bereichundliegen füraller normalverteilten Stichproben-Standardabweichungen.

1Bei der Berechnung der Summe der Abweichungen vom Mittelwert, die in quadrierter Form Grundlage der Varianz sind, sind nicht n, sondern nur n-1 Summanden unabhängig, da der letzte Summand immer zu einer Gesamtsumme von Null führen muss. Daher ist die Zahl der Freiheitsgrade nicht n sondern n-1.

letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

Adresse dieser Seite (evtl. in mehrere Zeilen zerteilt)
http://viles.uni-oldenburg.de/navtest/viles2/kapitel02x5_Stichprobenverteilungen/modul02_Stichprobenverteilungen~~lder~~lmodifizierten~~lStandardabweichungen/eb
ene01_Konzepte~~lund~~lDefinitionen/02x5__02__01__01.php3