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1. Die Stichprobenverteilung der X̄ bei bekanntem σ

a) Die Parameter der Verteilung

Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit ergibt sich die Verteilung der Mittelwerte von Stichproben theoretisch aus der Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung. Danach sind Linearkombinationen einer oder mehrerer unabhängiger, normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt.
Betrachtet man die einzelnen Elemente der Stichprobe jeweils als unabhängige normalverteilte Zufallsvariable, so gilt die Reproduktionseigenschaft sowohl bezüglich ihrer Summe wie ihres arithmetischen Mittels:

• Geht man von einer Summenvariable aus, wobei X_i normalverteilt ist, dann sind die

Stichprobenmittelwerteebenfalls normalverteilt mit dem

• Erwartungswert: und der

• Varianz:sowie der

• Standardabweichung:.

  Diese wird auch als Standardfehler des arithmetischen Mittels bezeichnet.

• Das Ergebnis für die Varianz folgt aus:bei.

• Abbildung III-4: Vergleich der Verteilung der x in der Grundgesamtheit mit der Verteilung der X̄ der Stichprobe

  
  

  Beim Vergleich der Verteilungen ist die unterschiedliche Skalierung beider Achsen zu beachten. Für die Grundgesamtheit gilt:
  
  0 ≤ f(x) ≤ 0,004 und 200 ≤ x ≤1000, während in den zentralen Bereich der Verteilung der X̄ gilt:
  
  0 ≤ f(X̄) ≤ 0,04 und 570 ≤ X̄ ≤ 630.

• Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt nun, dass auch das arithmetischen Mittel von unabhängigen Zufallsstichproben aus nicht-normalverteilten Grundgesamtheiten abnormalverteilt ist.

b) Der Endlichkeitsfaktor

• Die Unabhängigkeit der Stichprobenelemente ist theoretisch nur gegeben bei Zurücklegen der Elemente. Wenn die Stichprobe mehr als 5% der Grundgesamtheit beinhaltet, der Auswahlsatz alsoist, muss bei der Bestimmung der Varianz ein so genannter Endlichkeitsfaktorberücksichtigt werden.

• Es gilt dann für größere Stichproben:

  

c) Die Z-Transformation für X̄

Istnormalverteilt, resultiert aus der Z-Transformation die Standardnormalvariable

bzw. bei:

d) Symmetrische Bereiche um X̄

• Beim Ziehen von Stichproben ist es wünschenswert, dass die Ergebnisse nicht zu weit vom entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit entfernt sind. Die Grenzen eines akzeptablen, symmetrischen Bereichs umwerden mitbezeichnet. Für eine vorgegebene (Ausschuss-)Wahrscheinlichkeitliegen die Stichprobenmittelwerte im Intervall:

  .

• Wird die Formel für die obige Z-Transformation nachaufgelöst, können die Grenzen konkret bestimmt werden mit:

  

  U.U. ist zusätzlich der Endlichkeitsfaktor zu berücksichtigen.

2. Die Stichprobenverteilung der X̄ bei unbekanntem σ

In der Regel ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt. Man schätztdann durch die Standardabweichung der Stichprobe. Im Gegensatz zum Stichprobenmittelwertist die Stichprobenvarianznicht erwartungstreu, d.h. . Auf die ausführliche Herleitung kann an dieser Stelle verzichtet werden.¹

a) Das Konzept der erwartungstreuen Varianz ŝ²

• Ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit wäre erforderlich, um die Verteilung des Stichprobenmittelwerte auch dann bestimmen zu können, wenn die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist. Zur Lösung dieser Problematik ist es notwendig, das Konzept der Stichprobenvarianz zu modifizieren. Der gesuchte modifizierte Parameter, dessen Erwartungswert gleich der Varianz der Grundgesamtheit ist, wird als modifizierte Stichprobenvarianz bezeichnet und mit dem Symbol(gelesen „s Dach“) gekennzeichnet.

• Definiert ist die modifizierte Stichprobenvarianz als:

  

• Es lässt sich leicht zeigen, dass diese modifizierte Stichprobenvarianz tatsächlich ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit ist:

  

b) Die Verteilung der X̄ bei n ≤ 30

• Wirddurchersetzt, folgt die Verteilung der Stichprobenmittelwerte keiner Normalverteilung sondern einer t-Verteilung.

• In diesem Fall gilt:

  

  ist t-verteilt mit Freiheitsgraden.

• Ihre Parameter sind E(t) = 0 und VAR(t) = φ/(φ-2).

• Abbildung III-5: t-Verteilung der X̄ bei n = 10

  
  

• Bei ist der Endlichkeitsfaktors zu berücksichtigen:

  

c) Die Verteilung der X̄ bei n > 30

• Für Stichproben mitwird die t-Verteilung durch die die Standardnormalverteilung approximiert.

• Somit gilt dann:

  bzw.

  sind standardnormalverteilt.

letzte Änderung am 5.4.2019 um 4:24 Uhr.

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