1. Beispiele und Aufgaben zur Standardnormalverteilung

a) Beispiele zur Standardnormalverteilung

Die Montagezeiten eines Bauteils seien normalverteilt und weichen mit einem Std. von der Vorgabezeit ab.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein konkreter Auftrag mit einer Abweichung von maximal Std. abgewickelt wird?
2. In welchem Bereich bewegen sich 80% der (symmetrischen) Abweichungen von der Norm?

• Zu a): Die Abweichungen sind standardnormalverteilt . Gesucht ist:
  
  
  

  Die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb Std. Normabweichung abgewickelt wird, beträgt 38,3%.

• Zu b): Gesucht ist in:
  bzw.:
  
  
  80% der Abweichungen liegen im Bereich von Std..

b) Aufgaben zur Standardnormalverteilung

• Hinweis

  Benutzen Sie für die folgenden Rechnungen sowohl die Tabelle wie ein geeignetes Programm aus dem Toolbereich, um eine Standardnormalverteilung sowie verschiedene Normalverteilungen mit anderen Parametern zu erzeugen.

  Hier geht es zu diesem externen Angebot.

  Zum Rechnen und zur graphischen Darstellung von theoretischen Verteilungen wird auf die folgende externe Zusammenstellung von David Mc Lean verwiesen. Bitte lesen sie sich vorher die Hinweise durch und wählen eine geeignete Anwendung aus.
  Anmerkungen:

  1. Dargestellt sind u.a. die hier behandelten
     1. kontinuierlichen Funktionen (Normalverteilung, Student-t-Verteilung, Chi-Quadrat-Verteilung) und die
     2. diskreten Funktionen (Binomialverteilung)
  2. Es sind sowohl Darstellungen zu den
     1. Wahrscheinlichkeits-/Dichtefunktionen (PDF- ⇒ Probability-Density-Function) wie zu den
     2. Verteilungsfunktionen (CDF ⇒ Cumulated-Density-Function) abrufbar.
  3. Es können sowohl
     1. Rechnungen (über Calculator) wie
     2. graphische Darstelllungen (über Plotter) als auch
     3. Zufallswerte (über Random Numbers)
     auf der Basis selbst gewählter Parameter berechnet bzw. erstellt werden.

  Diese statistische Kalkulationen und Graphiken stehen unter diesem Link (Tables) zur Auswahl bereit.

• Aufgabe

  Gegeben ist eine Standardnormalverteilung. Bestimmen Sie bitte folgende Wahrscheinlichkeiten bzw. z-Werte (auf maximal vier Nachkommastellen gerundet).

  a) P(Z > 2) =

  b) P(-1 < Z < +1) =

  c)

  d) P(Z < A) = 0,5 ; A =

  e) P(-D < Z < +D) = 0,95; D=

  
  

  
  Anmerkung: Eine graphische Darstellung der Lösung und der Lösungsweg finden sich in den Musterlösungen zu Aufgabe 17 (vgl. Link am Ende des Kapitels).
  

2. Beispiele und Aufgaben zur Normalverteilung

a) Beispiele zur Normalverteilung

• Beispiel 1: Ein Haushalt gelte als arm, wenn er über weniger als 50% des Durchschnittseinkommens verfügt. Wie hoch wäre der Anteil armer Haushalte, wenn die HH-Nettoeinkommen mit und normalverteilt wären?
  Gesucht ist
  
  Danach beträgt der Anteil armer Haushalte knapp 16%.
  

• Beispiel 2:Weiter die obige Verteilung unterstellt: über welche Nettoeinkommen verfügen die 10% wohlhabendsten Haushalte mindestens? Gesucht ist in:
  Laut Tabelle trifft dies auf einen z _u -Wert von 1.28 zu.
  
  
  Diese Haushalte verfügen unter der Normalverteilungsannahme mindestens über ein Nettoeinkommen von 3280 EUR.

b) Aufgaben zur Normalverteilung

• Aufgabe 1

  Diskutieren Sie folgende Fragen:

  a) Wie wirkt sich die Wahl der Parameter auf die Form der Normalverteilung aus?

  b) Gilt die Regel, daß innerhalb der Intervalle immer bestimmte Flächenanteile liegen, nur für die Standardnormalverteilung oder für alle beliebigen Normalverteilungen?

  
  

  Ihre Antworten können Sie unter diesem externen Link eingeben.

  Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in dieser pdf-Datei zu berücksichtigen.

• Aufgabe 2

  Gegeben ist nun eine Normalverteilung mit einem Erwartungswert E(X)=12 und einer Varianz VAR(X)=16.

  a) P(X > 15) =

  b) P(X < 20) =

  c) P(8 < X < 16) =

  d)

  e) P(10 < X <20) =

  f) P(0 < X < 12) =

  
  
  Anmerkung: Eine graphische Darstellung der Lösung und der Lösungsweg finden sich in den Musterlösungen zur Aufgabe 18 (vgl. Link am Ende des Kapitels).
  

• Aufgabe 3 (19)
  
  Ein Kaffeeautomat kann so eingestellt werden, dass er im Durchschnitt eine bestimmte Menge Kaffee pro Tasse ausgibt. Die ausgegebenen cl Kaffee pro Tasse seien normalverteilt mit σ = 1,5 cl . Auf welchen Wert μ ist der Automat einzustellen, damit Tassen, die nicht mehr als 25 cl fassen, nur in 1% der Fälle überfließen?
  
  

  Diese Aufgabe können Sie in vier Schritten unter diesem externen Link bearbeiten. Vor dem ersten Einsatz dieses Übungstools oder bei Problemen empfiehlt es sich, die Hinweise in dieser pdf-Datei zu berücksichtigen.

  Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie zur Aufgabe 19 im Link am Ende des Kapitels.
  

• Aufgabe 4 (20)
  
  In einem Werk für Kosmetika und Seife wird Gesichtswasser maschinell in Flaschen abgefüllt. Der alte Werkmeister weiß, dass die von der Maschine abgefüllten Mengen einen Mittelwert von 152 ccm und eine Standardabweichung von 2 ccm aufweisen und normalverteilt sind.
  Ein kleines Geschäft feiert sein 25. Geschäftsjahr. Der Inhaber bestellt als Aufmerksamkeit für seine Kundschaft einen Posten Gesichtswasser in Flaschen zu 150 ccm mit einer Toleranz von 4 ccm nach oben und unten. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Flasche außerhalb der Toleranzen liegt?
  

  Diese Aufgabe können Sie in vier Schritten unter diesem externen Link bearbeiten.

  Eine ausführliche Darstellung der Lösung finden Sie zur Aufgabe 20 im Link am Ende des Kapitels.

  
  

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