Bisher hatten wir die Anzahl der möglichen Ereignisse durch Auszählen bestimmt, also den gesamten Ereignisraum eines Zufallsexperimentes vollständig beschrieben und/oder grafisch dargestellt. Allerdings zeigt sich schnell, dass dieses Vorgehen für komplexere Zufallsexperimente insbesondere in mehrdimensionalen Ereignisräumen ungeeignet, da zu aufwendig ist.

Dennoch besteht die Notwendigkeit, die Anzahl der möglichen Ereignisse zu ermitteln, da die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ja definiert ist als:

.

Es werden also allgemeine Formeln zur Bestimmung der Kombinationsmöglichkeiten unter verschiedenen Ausgangsbedingungen benötigt. Dazu bedienen wir uns der Kombinatorik.

Die möglichen Problemstellungen ergeben sich aus drei Faktoren:

1. Wird die Gesamtheit oder nur eine Teilauswahl betrachtet?

2. Wird die Reihenfolge berücksichtigt ? und

3. Wird mit oder ohne Zurücklegen gezogen?

Daraus ergeben sich 6 unterschiedliche Aufgabenstellungen, von denen jedoch nur 5 von Interesse sind, denn die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten einer Gesamtheit von n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist logischerweise immer 1.

Die fünf unterschiedlichen Aufgabenstellungen sind in den folgenden Abschnitten dargestellt:

a) Permutationen

Unter Permutationen verstehen wir die Gesamtheit aller möglichen Anodnungen von n Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge.

Die Frage ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente unter Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen, also z.B. 5 Personen in eine Reihe zu stellen?

Die Antwort ergibt sich sehr einfach als Fakultät von n: n ! (lies n-Fakultät), also: P _n = n !

wobei P hier nicht für Wahrscheinlichkeit, sondern für eine Permutation von n Elementen steht.

Berechnet wird die Fakultät von n als: n ! = n·(n-1)·(n-2)· ..... · 2·1

Dabei ist zu berücksichtigen, dass: n ! = n·(n-1)! (Rekursiv–Formel) und: 0 ! = 1 .

b) Variation mit Wiederholung

Unter einer Variationen mit Wiederholung versteht man eine Teilmenge, die durch Ziehung mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge entseht.
Dazu wird aus n Elementen eine Teilauswahl von k Elementen gezogen, wobei jedes gezogene Element wieder zurückgelegt und die Reihenfolge der Ziehung berücksichtigt wird, also z.B. die verschiedenen Möglichkeiten nach dem Zufallsprinzip einen Totoschein auszufüllen. Dabei besteht n aus den Ziffern 1, 2 und 0 und k gibt die Anzahl der zu tippenden Spiele wieder.

Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich als:

Da mit Zurücklegen gezogen wird (und damit beliebig oft), kann k - wie beim Totoschein - größer als n sein.

c) Variation ohne Wiederholung (Kombination mit Berücksichtigung der Reihenfolge)

Unter einer Variation ohne Wiederholung bzw. Kombination mit Berücksichtigung der Reihenfolge versteht man eine Teilmenge, die durch Ziehung ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge entsteht, also z.B. in einem Kaninchenzüchterverein mit n = 20 Mitgliedern zufällig den 1. und 2. Vorsitzenden, den Kassenwart und den Schriftführer auszulosen.

Wie oben werden unter Beachtung der Reihenfolge k aus n Elementen gezogen, jedoch ohne die gezogenen Elemente zurückzulegen. Hierbei kann k höchstens so groß wie n sein.

Die Anzahl der möglichen Variationen/Kombinationen ergibt sich als:

d) Stichproben ohne Zurücklegen (Kombinationen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge)

Im Gegensatz zu Variationen ohne Wiederholung werden nun alle Kombinationen, die sich aus den gleichen k Elementen zusammensetzen und sich nur durch die Reihenfolge unterscheiden als ein Fall betrachtet.
Dies ist der Fall einer Zufallsstichprobe, bei der die Reihenfolge der gezogenen Elemente unerheblich ist, also z.B. für ein Volleyballmatch aus einem Spielerkader des Umfangs n die Mannschaft mit k = 6 Spielern nach dem Zufallsprinzip auszuwählen oder im Lotto sechs bezifferte Kugeln aus 49 bezifferten auszuwählen.

Die Anzahl der Kombinationen ergibt sich aus der Formel für den Binomialkoeffizienten:

,

mit^*) *) gelesen: n über k

Für den Binomialkoeffizienten gilt:

undsowie

e) Stichproben mit Zurücklegen

Stichproben mit Zurücklegen sind eine Teilmenge, die aufgrund von Ziehungen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge entstehen. Der einzige Unterschied zu Fall 4 ist, dass nun jedes gezogene Element wieder zurückgelegt wird. Diese Form der Stichproben ist eher selten, trifft aber zu bei Verkehrsstichproben, wo ein Fahrzeug u.U. mehrmals zufällig am Kontrollpunkt erfasst wird.

Die Zahl der Kombinationsmöglichkeiten erhält man unter diesen Bedingungen mit der Formel:

f) Permutationen von k und (n-k) gleichen Elementen

Eine spezielle Form von Permutationen sind die Permutationen eine Menge von n dichotomen Elementen, also z.B. den Möglichkeiten 5 rote und 3 blaue Spielsteine anzuordnen. In diesem Fall ist n = 8, k = 5 und n - k = 3. Die Anzahl der Möglichkeiten wird ebenfalls mittels des Binomialkoeffizienten bestimmt:

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