1. Definition und Status einer dichotomen Variablen d

• Die Definition: d ist eine dichotome (binäre) Variable mit zwei Ausprägungen.

• Ein Beispiel: Das Merkmal Geschlecht mit den Ausprägungen weiblich (w) und männlich (m).

• Die Codierung: In der Regel setzt man die Werte d = (0 , 1) , z. B.: entweder (w = 0, m = 1) oder (w = 1, m = 0). Gebräuchlich ist für d dann auch die Bezeichnung "Dummy-Variable".

• Der Status: Im Regressionsansatz ist d = (0 , 1) die unabhängige Variable und x₁ die abhängige Variable .

• Die Regressionsbeziehung: Angenommen wird folgender Zusammenhang: x₁^c = f(d).

• Ein Beispiel für einen Regressionszusammenhang: Als Beispiel soll angenommen werden, dass die Höhe des Einkommens vom Geschlecht beeinflusst wird.

2. Regressionsfunktion und Regressionsparameter

a) Die Regressionsfunktion

• Die Funktionsform:
  
  Die Regressionsfunktion x₁^c = f(d) lautet:
  
  x₁^c = a* + b* · d

• Die graphische Darstellung:

  • Die Punktwolke im Koordinatensystem besteht aus zwei Verteilungen, der Verteilung der x₁ für d₁ = 0 und für d₂ = 1. Dabei verläuft die Funktion durch die Mitten der Verteilungen:

  • Abbildung 12-1: Die Funktion im Koordinatensystem
    

b) Die Regressionsparameter

• Die Ermittlung:

  • Die Parameter a* und b* der Regressionsfunktion mit einem dichotomen Regressor ergeben sich nach der Methode der kleinsten Quadrate für x₂ = d gemäß den in Kap. 11 vorgestellten Formeln.

  • Die Fehlerquadrate werden minimiert, wenn die Regressionsfunktion, wie in Abb. 12-1 gezeigt, durch die arithmetischen Mittel der beiden Verteilungen verläuft.

  • Somit entspricht a* dem Durchschnitt der x₁ für d₁ = 0 und b* der Differenz der beiden Durchschnitte.
    

• Die graphische Veranschaulichung
  

  • Abbildung 12-2: Die Funktionsparameter
    
    

  • Erläuterung
    
    

• Beispiel

  • a* entspräche im obigen Beispiel also dem Durchschnittseinkommen der Frauen,

  • b* entspräche der Differenz zwischen dem Durchschnittseinkommen der Männer und dem der Frauen.

3. Der Korrelations- und Determinationskoeffizient

• Die Ermittlung von R und R²: Wie schon bei der rechnerischen Bestimmung der Regressionsparameter stützt sich die Berechnung des Korrelations- und des Determinationskoeffizienten auf die entsprechenden Formeln in Kap. 11.

• Interpretation: R² verkörpert demnach das Ausmaß der Varianz von x₁, das durch den Regressor d erklärt wird.

• Beispiel: Im obigen Beispiel wird die Stärke des Zusammenhangs zum Einen von den Unterschieden der Durchschnittseinkommen der Geschlechter zum Anderen von der Streuung der Einkommen innerhalb der beiden Gruppen bestimmt (vgl. dazu auch Abb. 12-1).

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