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- Einleitung und Modulübersicht -

1. Die Analyse zweidimensionaler Verteilungen auf metrischer Basis

• In diesem Kapitel werden Methoden zur statistischen Analyse von Zusammenhängen zwischen zwei metrischen Variablen behandelt. Dabei stellen wir wieder die tabellarische und graphische Aufbereitung der Verteilungen der Berechnung von Zusammenhängen zwischen den Variablen voraus.

• Für Variablen auf nominalem und ordinalem Skalenniveau waren bei der Darstellung und Analyse von Zusammenhängen jeweils die sich aus dem Skalenniveau ergebenden Beschränkungen zu berücksichtigen.
  Metrische Daten erlauben hingegen eine Vielzahl von Rechenoperationen und lassen sich gut durch mathematische Funktionen ausdrücken und in Koordinatensystemen graphisch zu veranschaulichen.

• Während wir für Variablen auf nominalem und ordinalem Skalenniveau nur die Stärke eines Zusammenhangs bestimmen konnten, Richtungsangaben waren allenfalls für ordinale Variablen über das Vorzeichen der Koeffizienten zu erschließen, erlauben es metrische Daten, mit der Regressionsanalyse die Richtung der Abhängigkeit und mit der Korrelationsanalyse die Stärke des Zusammenhangs zu quantifizieren.

a) Die tabellarische Darstellung zweidimensionaler Verteilungen in Kreuztabellen

• Die Präsentation zweidimensionaler metrischer Daten in Tabellen stößt wegen der vielen unterschiedlichen Einzelbeobachtungen sehr schnell an ihre Grenzen. Weil für jede einzelne Ausprägung einer Variablen eine eigene Zeile resp. Spalte vorzusehen ist, führt dies dazu, dass sich in einer Zeile bzw. Spalte meist nur eine einzige Beobachtung befindet und deshalb fast alle Zellen leer bleiben.

• Die Klassierung der Ausgangsvariablen führt zwar zu überschaubareren Tabellen. Will man allerdings den Informationsgehalt der Aufbereitung nicht zu sehr einschränken, führt auch diese Maßnahme, vor allem bei deutlichen Zusammenhängen zwischen den Variablen, zu vielen leeren Tabellenfeldern.

b) Die graphische Darstellung zweidimensionaler Verteilungen in Streuungsdiagrammen

• Die graphische Darstellung einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung metrischer Daten im X,Y - Koordinatensystem ist deshalb die Präsentation-Methode der Wahl. In einer sog. Punktwolke wird jedes Wertepaar(X_i, Y_i) als Punkt im Koordinatensystem abgebildet, so dass es zu keinem Informationsverlust kommt.

• Bei der statistischen Aufbereitung ist es also sinnvoll, einer Kreuz-Tabelle der klassierten Häufigkeiten das Streuungsdiagramm der Originaldaten zu Seite zu stellen.

• Die graphisch Darstellung der Daten erlaubt bereits erste Schlüsse auf die Stärke des Zusammenhangs und dessen Richtung. Auf ihrer Basis werden in den folgenden Modulen auch die rechnerischen Analysen veranschaulicht.

c) Die rechnerischen Ermittlung der Richtung des Zusammenhangs in der Regressionsanalyse

• Im Modul XI - 1 analysieren wir im einfachen linearen Regressionsmodell die funktionale Form des Zusammenhangs. Dies bedeutet zum einen, dass nur eine abhängige und eine unabhängige Variable und nur ein linearer Zusammenhang zwischen den Variablen unterstellt wird.

• Dabei betrachten wir die abhängige Variable als Funktion der unabhängigen Variablen und suchen nach einer linearen Regressions-Funktion Y_i^c = a + bX_i , die diesen Zusammenhang beschreibt.

d) Die rechnerischen Ermittlung der Stärke des Zusammenhangs in der Korrelationsanalyse

In Modul XI - 2 entwickeln mit dem einfachen linearen Korrelationsmodell die entsprechenden Methoden zur Ermittlung der Stärke des Zusammenhangs.

• Dieses resultieren einerseits im Korrelationskoeffizienten R nach Bravais-Pearson der die gewünschten Eigenschaften:

  • R = - 1, bei vollständigem negativen Zusammenhang,

  • R = 0 , bei Unabhängigkeit und

  • R = + 1, bei vollständigem positiven Zusammenhang

  besitzt.

• Dessen Quadrat, der Determinationskoeffizient R² erfasst die Stärke des Zusammenhangs, in dem er angibt, wie weit die Varianz der abhängigen Variablen durch die Varianz der unabhängigen Variablen bestimmt wird.

e) Überblick über die Analyse zweidimensionaler Zusammenhänge

Übersicht 11-1: Aufbereitung und Analyse zweidimensionaler metrischer Verteilungen

2. Der modulare Aufbau des Kapitels

Das Kapitel besteht somit aus den folgenden Modulen:

• Modul XI - 1 Das einfache lineare Regressionsmodell
  

  In diesem Modul wird, nach der Präsentation einer Kreuztabelle für klassierte metrische Variablen, das lineare Regressionsmodell an einem Streuungsdiagramm veranschaulicht und daraus mit der Methode der kleinsten Quadrate die lineare Regressionsfunktion bestimmt.

• Modul XI - 2 Das einfache lineare Korrelationsmodell
  

  In diesem Modul werden R und R² aus der Kovarianz der beiden Variablen X,Y bzw. als Verhältnis von erklärter Varianz der Variablen Y zu ihrer Gesamtvarianz abgeleitet.

• Modul XI-3 Eigene Analysen und Interpretationen

  Schließlich werden im Modul XI - 3 die Durchführung von Regressions- und Korrelationsanalysen mit SPSS an Hand des Beispieldatensatzes demonstriert. Dabei werden:

  • die graphische Aufbereitung der Daten in einem Streuungsdiagramm,

  • die Berechnung der Parameter der Regressionsfunktion sowie

  • die Ermittlung des Korrelations- und Determinationskoeffizienten

  gezeigt und die Ergebnisse interpretiert.

  Anschließend können diese Regressions- und Korrelationsanalysen wieder anhand eigener Ausgabenstellungen und Datensätzen durchgeführt werden.
  

  Wählen Sie ein Modul:

  1. XI-1 Das einfache lineare Regressionsmodell
  
  
  2. XI-2 Das einfache lineare Korrelationsmodell
  
  
  3. XI-3 Eigene Analysen und Interpretationen im einfachen linearen Modell
  
  

  letzte Änderung am 28.2.2020 um 7:49 Uhr.

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