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X Zusammenhangsmaße für ordinalskalierte Daten
- Einleitung und Modulübersicht -
1. Konstruktive Aspekte ordinaler Zusammenhangsmaße
In diesem Kapitel wird die Berechnung von Zusammenhängen zwischen Variablen auf ordinaler Basis modelliert. Die vorgestellten Verfahren sind aber auch bei metrischen Daten zulässig.
Die ordinalen Merkmale weisen eine Ordnung auf, bei der die Intervalle zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen nicht genau bestimmt sind, vor allem wenn sie nicht auf einem differenzierten Bepunktungsschema beruhen. Klassische Beispiele für ordinalskalierte Variablen sind Schulnoten oder der soziale Status aber auch die Tabellenstände in einer Fussballliga oder die Plätze auf einer Rangliste.
a) Typen ordinaler Daten
Wie die Beispiele zeigen, können ordinale Daten auf zwei verschiedene Weisen vorliegen. Bei der Konstruktion von Zusammenhangsmaßen sind diese Unterschiede zu beachten, da sie jeweils unterschiedliche Typen von Maßzahlen nahelegen:
Klassierte Ordnungs-Merkmale weisen für eine Vielzahl von Objekten meist nur eine begrenzten Anzahl von Kategorien (k = 1....z) auf. Deshalb führt dieser Skalentyp zwar überwiegend zu Unterschieden zwischen den Objekten, aber häufig auch zu Identitäten.
So erhalten bei Schulnoten mehrere Schüler die gleiche Note, viele Personen zählen zur "Mittelschicht".
Rangskalen zeichnet aus, dass eine Rangziffer X (X = 1...N) in der Regel nur einmal vorkommt. Nur ein Fußball-Club ist Deutscher Meiser, nur eine Person steht auf Platz "25" der Weltrangliste.
Basiert die Rangordnung auf einem differenzierten Punkteschema, kann es bei übereinstimmender Punktezahl in Ausnahmefällen auch zu einer Übereinstimmung der Rangzahl kommen. Diese ergibt sich dann als Mittelwert der Ordnungziffern.
b) Typen ordinaler Vergleiche
Die Unterschiede in den ordinalen Skalen begründen unterschiedliche Vergleichsansätze und damit unterschiedliche Modelle zur Messung des Zusammenhangs, etwa dem zwischen beruflichem Status und Ausbildung einerseits, dem zwischen der leistungsmäßigen Nähe von Sportarten im Zehnkampf anderseits.
Im Paarvergleich werden zwei Individuen darauf hin verglichen, ob sie bezüglich eines bestimmten Muster übereinstimmen, z.B ob sich die Leistungsunterschiede in den Schulfächern für beide Personen entsprechen oder nicht.
Von Konkordanz spricht man, wenn für Paare (A,B) gilt: (A > B in Deutsch und A > B in Englisch) oder (A < B in Deutsch und A < B in Englisch).
Wenn die Leistung in einem Fach mit der Leistung im anderen Fach gleichgerichtet zusammenhängt, sollten die konkordanten Paare deutlich überwiegen.
Diskonkordanz ist gegeben, wenn (A > B in Deutsch und A < B in Englisch) oder umgekehrt. Sind die Leistungen gegensätzlich, sollten die diskordanten Paare in der Mehrzahl sein.
"Bindungen" bzw. "Ties" liegen vor, wenn (A = B in Deutsch aber A < bzw. > B in Englisch), (A < bzw. > B in Deutsch aber A = B in Englisch) und (A = B in Deutsch und A = B in Englisch). Im ersten Fall spricht man von Ties in X, im zweiten Fall von Ties in Y und im dritten Fall von Ties in X und Y.
Die Rangdifferenz basiert auf den individuellen Differenzen der Platzierungen auf den beiden Rangreihen, mit Di = Xi - Yi.
Bei einem gleichgerichteten Zusammenhang sollten sich die Ränge nicht wedentlich unterscheiden und die Differnezen meist sehr klein ausfallen.
Bei einem umgekehrten Zusammenhang sollten die Differenzen in der Regel negativ ausfallen und die negativen Differenzen zahlreich sein.
2. Modelle ordinaler Zusammenhangsmaße
Beide Formen des Vergleichs erfordern unterschiedliche Maßzahlen, deren Logik zwar jeweils auf dem zugrunde liegenden Vergleichsansatz beruhen, die sich in ihrer Ausgestaltung beim Vorliegen gleicher Merkmalsausprägungen (Bindungen bzw. Ties) aber stark unterscheiden. Im Folgenden werden deshalb die jeweiligen Typen von Zusammenhangsmaßen danach unterschieden, ob Einzeldaten einer Rangreihe oder klassierte Daten einer Orinalskala mit einem geringen Merkmalsumfang vorliegen.
a) Die Konkordanzmaße
Die oben dargestellt Form des Paarvergleichs konstituiert die Konkordanzmaße.
Dabei wird die Anzahl der konkordanten Paare mit der Anzahl der diskordanten Paare abgeglichen und die Differenz auf die Anzahl der möglichen Paare bezogen.
Konkordanzmaße sind sowohl für Rangreihen, wie für klassierte Daten tauglich, allerdings kommen beim Vorliegen von Ties, je nach deren Art, verschiedene Varianten zum Einsatz.
b) Der Rangkorrelationskoeffizient
Der Ansatz der Rangdifferenz führt zum Rangkorrelationskoeffizienten
Sein Wert wird von der Summe der quadrierten Differenzen bestimmt wird.
Bei einem positiven Zusammenhang sollte diese Summe gering ausfallen, bei einem negativen (umgekehrten) Zusammenhang hoch.
Dieses Verfahren ist allerdings beim Auftreten von Ties beträchtlichen Restriktionen unterworfen
3. Die Funktion ordinaler Zusammenhangsmaße
Die besondere Skalenqualität der ordinal-skalierten Daten erlaubt folgende Funktionen:
a) Die Messung der Stärke des Zusammenhangs
Wie bei Zusammenhangsmaßen zu erwarten, sollen sie die Stärke eines Zusammenhangs im Wertebereich (0,1) quantifizieren.
D.h. sie sollen bei Unabhängigkeit zweier Variablen den Wert "0" annehmen und bei vollkommener Abhängigkeit den Wert "1".
b) Die Messung der Richtung des Zusammenhangs
Die Ordnung der Werte ermöglicht es, dass beide Wertereihen eher gleichgerichtet oder eher gegenläufig sind.
Im ersten Fall konstatieren wir eine positiven Zusammenhang, im zweiten einen negativen.
Dies kann auch in den Maßzahlen zum Ausdruck kommen, wenn der Wertebereich auf (-1,+1) festgelegt wird.
D.h. bei einem vollständigen negativen Zuammenhang sollte die Maßzahl der Wert -1 annehmen, bei einem vollständigen positiven Zuammenhang den Wert +1 und bei Unabhängigkeit den Wert 0.
4. Der modulare Aufbau des Kapitels
Die folgenden Module erläutert die Konstruktion von Maßzahlen für den statistischen Zusammenhang zwischen Variablen auf der logischen Grundlage des ordinalen Skalenniveaus.
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