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Konzepte und Definitionen im Modul I-3 Diskrete und stetige Variablen
Vorbemerkung
Die Unterscheidung in stetige vs. diskrete Merkmale ist in der empirischen Forschung und der Statistik einerseits mit der Art des Merkmals, d.h. auch der Skalenqualität, andererseits mit der Messgenauigkeit verknüpft. Beides wirkt sich unmittelbar auf die Anzahl der beobachtetet/beobachtbaren unterschiedlichen Merkmalskategorien aus.
1. Die Eigenschaften diskreter Variablen
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Mathematisch betrachtet, nehmen diskrete Variablen nur abzählbare Werte an. Dabei kann man noch zwischen abzählbar endlichen und abzählbar unendlichen Variablen unterscheiden. In vielen praktischen Fällen nimmt eine diskrete Variable sogar nur ganze Zahlen an (z. B. die Einwohner einer Gemeinde).
Als Beispiel für diskrete Variablen gelten:
- die Schulnoten 1 bis 6
- numerisch gekennzeichnete Ausprägungen des Familienstandes
- die Ziffern eines Roulett-Rads von 0 - 36
- Einkommen in ganzen EUR.
2. Die Eigenschaften stetiger Variablen
Mathematisch betrachtet können stetige (kontinuierliche) Variablen jeden reellen Zahlenwert annehmen und sind deshalb nicht zählbar. Die Anzahl der unterschiedlichen Merkmalsausprägungen ist deshalb unendlich.
Als Beispiel für stetige Variablen seien hier Längen- oder Zeitwerte genannt. Da zwischen 1 und 2 Zentimetern unendlich viele weitere Zahlen liegen, ist es unmöglich die Anzahl der Ausprägungen anzugeben.
3. Die praktische Relevanz der Unterscheidung in diskrete/stetige Variablen
In der empirisch/statistischen Praxis wird oft auch mit den Begriffspaar qualitative vs. quantitative Merkmale gearbeitet. Aus den obigen Definitionen ergibt sich, dass qualitative Merkmale (nominal oder ordinal skalierte Merkmale) auf jeden Fall diskrete Merkmale sind, während quantitative (metrische Merkmale) sowohl diskrete (z.B. absolute Merkmale) wie stetige Merkmale sein können.
Statistisch betrachtet ist die Unterscheidung in diskrete und stetige Variablen
vor allem in der induktiven Statistik relevant (diskrete/stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen).
Für die deskriptiven Statistik ist hingegen die Anzahl der gegebenen Merkmalsausprägungen bedeutsam, da diese die Möglichkeit ihrer tabellarischen Darstellung tangiert.
Bei der statistischen Analyse ist die Beziehung zwischen Mess- und Rechengenauigkeit zu beachten.
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Das Merkmal Körpergewicht z.B. ist in der Natur stetig. Die als Ergebnis von Messvorgängen resultierenden Werte der Variablen Gewicht sind jedoch, bedingt durch die Messgenauigkeit, z.B. in Gramm, de facto diskret.
Ein weiteres Beispiel betrifft die Genauigkeit von z.B. Einkommensangaben. Wenn etwa nach den ungefähren Monatsausgaben für bestimmte Güter gefragt wird, ergeben sich üblicherweise stark gerundete Werte.
Deshalb gilt es, die inhaltliche Interpretation von Wertdifferenzen unterhalb der Messgenauigkeit zu vermeiden. Dies wird im Rahmen empirischer Erhebungen leicht übersehen, wenn diese mit höchster Rechengenauigkeit ausgewertet und geringe Differenzen zwischen verschiedenen Vergleichsgruppen inhaltlich interpretiert werden.
Noch deutlicher tritt dieses Problem bei Untersuchungen zu Tage, bei denen die Messgenauigkeit der Erhebungsinstrumente nur schwer zu ermitteln ist, beispielsweise bei der Erhebung von Meinungen und Einstellungen.
Auf der anderen Seite werden diskrete Merkmale mit einer großen Anzahl von Merkmalsausprägungen, wie z.B. Einkommensbeträge oder Bevölkerungszahlen vor allem in der in der schließenden Statistik oft als quasi- stetige Variable behandelt und entsprechende Verteilungen zugrunde gelegt.
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